Question

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите стороны параллелограмма.

Answer 1

2х+2у=12
х+у=6
Х-у=2


2х=8
х=4
у=2

Answer 2

Обозначим стороны параллелограмма ABCD как a и b. Так как параллелограмм имеет две пары равных сторон, его периметр равен удвоенной сумме длин сторон: 2(a + b) = 12, что приводит к уравнению a + b = 6.

Теперь давайте рассмотрим треугольники BOC и COD. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Обозначим стороны треугольников BOC и COD как x и y соответственно.

Из условия известно, что разность периметров треугольников BOC и COD равна 2:

Периметр(BOC) - Периметр(COD) = x + x + b - (y + y + a) = 2

Учитывая, что a + b = 6 (из первого уравнения), мы можем подставить это значение в уравнение выше:

2x - 2y = 2 x - y = 1

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 6
2. x - y = 1

Из уравнения (2) выразим x через y: x = y + 1.

Теперь подставим x = y + 1 в уравнение (1) и используем a + b = 6:

(y + 1) + b = 6 b = 6 - y - 1 b = 5 - y

Итак, мы получили выражение для стороны b через y. Теперь вернемся к уравнению x - y = 1:

x = y + 1

Из этого уравнения и подставив значение b, получим:

x = (b - 5) + 1 x = b - 4

Таким образом, у нас есть выражения для сторон параллелограмма через y и b:

a = b - 4 b = 5 - y

Теперь можем объединить оба выражения для b:

b = 5 - y b = a + 4

Подставляя a + 4 вместо b в первое уравнение, получаем:

a + 4 = 5 - y a = 1 - y

Итак, у нас есть выражения для сторон параллелограмма:

a = 1 - y b = 5 - y

Зная, что сумма сторон a и b равна 6 (из начального условия), мы можем записать:

a + b = 1 - y + 5 - y = 6 6 - 2y = 6 2y = 0 y = 0

Теперь, когда мы нашли значение y, подставим его обратно в выражения для a и b:

a = 1 - y = 1 b = 5 - y = 5

Итак, стороны параллелограмма ABCD равны a = 1 и b = 5.