Question

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит сторону в отношении 4:3, считая от вершины острого угла. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 506. Решение обязательно. Рисунок необязательно, но можно)

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Объяснение:

Answer 2

Обозначим меньшую сторону параллелограмма за $a$, а большую сторону (на которой лежит тупой угол) за $b$. Также, пусть точка, где биссектриса тупого угла пересекает большую сторону, будет обозначена как $P$, а точка пересечения биссектрисы и меньшей стороны - как $Q$.

Согласно условию, биссектриса делит большую сторону в отношении 4:3, то есть:

$\dfrac{BP}{PB} = \dfrac{4}{3}$.

Также известно, что периметр параллелограмма равен 506:

$2a + 2b = 506$.

Из свойств параллелограмма мы знаем, что биссектриса тупого угла также является высотой, проведенной к противоположной стороне. Таким образом, треугольник $BPQ$ - это прямоугольный треугольник, в котором угол $BPQ$ равен 90 градусов.

Из подобия треугольников $BPQ$ и $APB$ (где $A$ - вершина острого угла) можно записать:

$\dfrac{PQ}{PB} = \dfrac{AB}{BP}$.

Подставим известные значения:

$\dfrac{PQ}{PB} = \dfrac{3}{7}$ (поскольку $\dfrac{AB}{BP} = \dfrac{4}{3}$).

Мы также можем использовать тот факт, что $PQ + PB = a$:

$PQ + PB = a$.

Решим эту систему уравнений, чтобы найти значения $PQ$ и $PB$. Далее, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника $BPQ$:

$(PQ)^2 + (PB)^2 = (BQ)^2$.

Выразим $BQ$ через известные величины:

$BQ = b - PQ$.

Подставим это в уравнение Пифагора:

$(PQ)^2 + (PB)^2 = (b - PQ)^2$.

Раскроем квадрат:

$(PQ)^2 + (PB)^2 = b^2 - 2bPQ + (PQ)^2$.

Теперь можем выразить $PB$ через $PQ$:

$(PB)^2 = 2bPQ$.

Подставим значение $PQ$ из первой системы уравнений:

$(PB)^2 = 2b \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{6b}{7}$.

Теперь у нас есть выражение для $PB$ через $b$. Далее, можем воспользоваться выражением для $PQ + PB = a$:

$PQ + PB = a$.

Подставим значение $PB$:

$PQ + \sqrt{\dfrac{6b}{7}} = a$.

Теперь мы можем выразить $PQ$ через $b$ и $a$:

$PQ = a - \sqrt{\dfrac{6b}{7}}$.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} PQ + PB = a \\ (PQ)^2 + (PB)^2 = b^2 \end{cases}$$

Подставляем выражение для $PQ$ из первого уравнения во второе:

$$\left(a - \sqrt{\dfrac{6b}{7}}\right)^2 + \dfrac{6b}{7} = b^2$$

Раскроем квадрат и упростим:

$$a^2 - 2a\sqrt{\dfrac{6b}{7}} + \dfrac{6b}{7} + \dfrac{6b}{7} = b^2$$