Question

Знайдіть кут А трикутника АВС, якщо:1) A (1; 1; 3), В (5; 3; 3), C (1; 7; 3); ​

Answer 1

Ответ:

<A≈63°

Объяснение:

сначала вычислим длины сторон АВ, ВС, АС по формуле:

АВ²=(Ах–Вх)²+(Ау–Ву)²+(Аz–Bz)²=

=(1–5)²+(1–3)²+(3–3)²=(–4)²+(–2)²=16+4=20; АВ=√20=,2√5см

По такой же формуле вычислим остальные стороны:

ВС²=(5–1)²+(3–7)²+(3–3)²=4²+(–4)²+0=16+16=32;

ВС=√32=4√2см

АС²=(1–1)²+(1–7)²+(3–3)²=(–6)²=36; АС=√36=6см

ИТАК: АВ=2√5см, ВС=4√2 см, АС=6см

Теперь найдём <А используя теорему косинусов:

$\cos( \alpha ) = \frac{ab {}^{2} + ac {}^{2} - bc {}^{2} }{2 \times ab \times ac} = \frac{(2 \sqrt{5}) {}^{2} + 6 {}^{2} - (4 \sqrt{2}) {}^{2} }{2 \times 2 \sqrt{5} \times 6} = \frac{20 + 36 - 32}{24 \sqrt{5} } = \frac{24}{24 \sqrt{5} } = = \frac{1}{ \sqrt{5} }$

cos 1/√5≈0,45≈63°

Answer 2

Для знаходження кута між векторами AB та AC можна скористатися дотичними векторами цих сторін трикутника. Давайте спочатку знайдемо вектори AB та AC, а потім знайдемо їх дотичні вектори та обчислимо косинус кута між ними.

1. Знайдемо вектори AB та AC: Вектор AB: AB = B - A = (5 - 1, 3 - 1, 3 - 3) = (4, 2, 0) Вектор AC: AC = C - A = (1 - 1, 7 - 1, 3 - 3) = (0, 6, 0)

2. Знайдемо дотичні вектори: Дотичний вектор до AB: AB' = AB / ||AB||, де ||AB|| - довжина вектора AB Дотичний вектор до AC: AC' = AC / ||AC||, де ||AC|| - довжина вектора AC

   Довжина вектора AB: ||AB|| = √(4^2 + 2^2 + 0^2) = √20 Довжина вектора AC: ||AC|| = √(0^2 + 6^2 + 0^2) = 6

   AB' = (4 / √20, 2 / √20, 0) AC' = (0, 6 / 6, 0) = (0, 1, 0)

3. Обчислимо косинус кута між дотичними векторами: Косинус кута між векторами визначається як скалярний добуток дотичних векторів. Косинус кута = AB' • AC'

   AB' • AC' = (4 / √20) * 0 + (2 / √20) * 1 + 0 * 0 = 2 / √20

4. Знайдемо сам кут: Кут між векторами можна знайти за формулою: кут = arccos(AB' • AC')

   Кут = arccos(2 / √20)

За допомогою калькулятора можна обчислити приблизне значення цього кута.