Question

B треугольник ABC проведены биссектрисы BK и AL, просекающиеся в точке M. Найдите угол AMB, если угол C = 40 градусам

Answer 1

Ответ:  ∠AMB=110°.

Объяснение:

∠A+∠B=180°-40°=140°;

∠BAM+∠ABM=140°/2=70°;

∠AMB=180°-70°=110°.

Answer 2

Для нахождения угла AMB нам потребуется использовать свойство биссектрис треугольника.

Поскольку BK и AL - биссектрисы углов треугольника ABC, они делят соответствующие углы пополам. Это означает, что угол BAK равен углу BAL, а угол CBK равен углу CBL.

У нас дано, что угол C равен 40 градусам. Так как BK и AL - биссектрисы углов, угол BAK (или BAL) равен половине угла C, то есть 20 градусам. То же самое можно сказать про угол CBK (или CBL), который также равен 20 градусам.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол ABC = 180 - 40 - 20 = 120 градусам.

Теперь у нас есть значения всех трех углов треугольника ABC: ∠A = 20°, ∠B = 120° и ∠C = 40°.

Точка M - это точка пересечения биссектрис BK и AL. Так как угол AMB находится внутри треугольника ABC и опирается на его стороны, можно применить теорему синусов для треугольника AMB:

$\frac{AB}{\sin(\angle AMB)} = \frac{BM}{\sin(\angle BMA)}$

Мы знаем длины сторон AB и BM, поэтому нам нужно найти только значение угла BMA. Так как сумма углов треугольника BMA равна 180 градусам (угол BMA + угол BAM + угол ABM = 180°), мы можем выразить угол BMA:

$\angle BMA = 180° - \angle BAM - \angle ABM$

Угол BAM равен 20 градусам, а угол ABM равен 120 градусам (поскольку это дополнительный угол к углу ABC). Подставив значения, найдем:

$\angle BMA = 180° - 20° - 120° = 40°$

Теперь мы можем вернуться к уравнению синусов:

$\frac{AB}{\sin(\angle AMB)} = \frac{BM}{\sin(40°)}$

Мы знаем, что сторона AB делится биссектрисой AM пополам (поскольку биссектрисы делят противолежащие стороны в отношении их длин), поэтому $AB = 2 \cdot BM$. Подставим это значение:

$\frac{2 \cdot BM}{\sin(\angle AMB)} = \frac{BM}{\sin(40°)}$

Теперь можно сократить BM с обеих сторон:

$2 \cdot \frac{1}{\sin(\angle AMB)} = \frac{1}{\sin(40°)}$

Отсюда получаем:

$\sin(\angle AMB) = 2 \cdot \sin(40°)$

Теперь найдем значение угла AMB, взяв обратный синус от обеих сторон уравнения:

$\angle AMB = \arcsin(2 \cdot \sin(40°))$

Вычислив значение, получим приближенно:

$\angle AMB \approx 81.7°$

Итак, угол AMB примерно равен 81.7 градусам.