Question

Дано: ABCD — параллелограмм; BM — биссектриса угла B; AM = MD; BC = 10 см. Найти: PABCD. ​

Answer 1

Всё есть на фото

(Пишу тут ещё что-то, просто чтобы добавили комментарий)

Answer 2

Обозначим точки следующим образом:

• $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины параллелограмма.
• $M$ — точка пересечения биссектрисы $BM$ и $AD$.
• $P$ — точка пересечения $BM$ и $CD$.

Из условия $AM = MD$ следует, что $M$ является серединой отрезка $AD$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC$ параллельно $AD$, и из условия $AM = MD$ следует, что $BM$ является медианой треугольника $ABD$, и, следовательно, делит его пополам.

Также, так как $BM$ является биссектрисой угла $B$, она делит угол $A$ пополам.

Теперь давайте рассмотрим треугольник $ABM$. Из условия $BM$ делит $ABD$ пополам следует, что $AM = MD$, а также $BM$ является биссектрисой угла $B$. Это означает, что треугольник $ABM$ — это равнобедренный треугольник. Таким образом, $\angle BAM = \angle ABM$.

Из того же равнобедренного треугольника $ABM$ следует, что $\angle AMB = \angle BMA$.

С учетом этих фактов, мы можем заключить, что $\triangle ABM$ — это треугольник, в котором два угла равны и боковая сторона ($BM$) равна боковой стороне ($BM$). Таким образом, треугольник $ABM$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Теперь давайте рассмотрим треугольник $BMP$. Мы знаем, что $\angle AMB = \angle BMP$ и $\angle BM = \angle BP$ (по определению биссектрисы). Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, получаем: $\angle BMP = \angle AMB + \angle BM = \angle BMA + \angle BP.$

Из равнобедренности треугольника $ABM$ следует, что $\angle BMA = \angle BAM$.

Таким образом, $\angle BMP = \angle BAM + \angle BP$, и следовательно, угол $\angle BMP$ также равен углу $\angle PBA$.

Из этого следует, что треугольник $BMP$ также является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Теперь мы знаем, что у треугольника $ABM$ и у треугольника $BMP$ общий угол $\angle BAM = \angle BMP$, а также общая гипотенуза $BM$. Следовательно, эти два треугольника подобны.

Так как соответствующие углы и гипотенузы подобных треугольников пропорциональны, то отношение длины $BP$ к длине $BA$ равно отношению длины $BM$ к длине $AB$: $\frac{BP}{BA} = \frac{BM}{AB}.$

Теперь мы можем выразить $BP$ через $BA$ и $BM$: $BP = \frac{BM \cdot BA}{AB}.$

Так как $BM$ является медианой треугольника $ABD$, то $BM$ делит сторону $AD$ пополам: $AD = 2 \cdot AM.$

Следовательно, $AB = AD + DB = 2 \cdot AM + DB$.

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для $BP$: $BP = \frac{BM \cdot BA}{2 \cdot AM + DB}.$

Так как $BM$ является биссектрисой угла $B$, она делит $BC$ (сторону параллелограмма) пополам: $BC = 2 \cdot BM.$

Отсюда, $BM = \frac{BC}{2}$.

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для $BP$: $BP = \frac{\frac{BC}{2} \cdot BA}{2 \cdot AM + DB}.$

Так как $AM = MD$, а $MD$ является половиной $DB$, то $DB = 2 \cdot AM$.

Подставляем $DB<$