Question

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A равного 60° пересекает сторону BC в точке M отрезки AM и DM перпендикулярны. найдите периметр параллелограмма если ab=2​

Answer 1

В параллелограмме биссектриса угла А отсекает равнобедренный треугольник. АВ=ВМ=2.

∠ВАМ=∠ВМА=30°.

Тогда ∠АВМ = 180°-30°-30° = 120°.

В параллелограмме противоположные углы равны

∠В = ∠Д = 120°.

∠А = ∠С = 60°.

∠СМД = 180°-90°-30° = 60°.

Делаем вывод, что ΔДМС - равносторонний.

Так как АВ = СД=2, то СД=ДМ=МС = 2.

ВС= ВМ+МС = 2+2=4

ВС=АД = 4.

Периметр параллелограмма: 2+2+4+4= 24.

Ответ: периметр параллелограмма 24.

Answer 2

Пусть угол BCD параллелограмма ABCD равен 60°. Также, пусть точка E - середина стороны CD. Так как биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, а отрезки AM и DM перпендикулярны, это означает, что AM и DM - медианы треугольника ACD.

Поскольку треугольник ADM - прямоугольный, то AM является половиной гипотенузы CD, а DM - половиной катета AC. Таким образом, треугольник ADM - 30-60-90, и значит угол AMD равен 30°.

Так как угол A равен 60°, а угол AMD равен 30°, то угол CME также равен 30°. Значит, треугольник CME также является 30-60-90 треугольником.

Пусть сторона BC параллелограмма равна a, и тогда AB = CD = a (поскольку противоположные стороны параллельны и равны в параллелограмме).

Из 30-60-90 треугольника CME мы знаем, что:

CE = 0.5 * CD = 0.5 * a, ME = CE * sqrt(3) = 0.5 * a * sqrt(3).

Таким образом, сторона AM также равна 0.5 * a * sqrt(3).

Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон:

P = 2 * (AB + BC) = 2 * (a + a) = 4a.

Известно, что a * b = 2, где b - высота параллелограмма, опущенная из вершины B.

Из 30-60-90 треугольника ABE мы можем выразить высоту b:

b = AB * sqrt(3) = a * sqrt(3).

Подставляя это значение в уравнение a * b = 2:

a * (a * sqrt(3)) = 2, a^2 * sqrt(3) = 2, a^2 = 2 / sqrt(3), a = sqrt(6) / 3.

Таким образом, периметр P = 4a = 4 * sqrt(6) / 3.