Question

СРОЧНО! Дан четырехугольник с вершинами А (-2;-2), В (-3;1), С ( 7;7) и Д (3;-1). Найдите с угла между его диагоналями. С чертежом пожалуйста!

Answer 1

Найдём косинус угла между диагоналями через скалярное произведение векторов диагоналей AC и BD.

$AC_x=X_C-X_A=7-(-2)=9\\\\AC_y=Y_C-Y_A=7-(-2)=9\\\\\overrightarrow {AC}\Big(9;9\Big);\ \ \ \ \Big|\overrightarrow {AC}\Big|=\sqrt{\big9^2+\big9^2}=\sqrt{2\cdot \big9^2}=9\sqrt{\big2}\\\\BD_x=X_D-X_B=3-(-3)=6\\\\BD_y=Y_D-Y_B=-1-1=-2\\\\\overrightarrow {BD}\Big(6;-2\Big);\ \ \ \ \Big|\overrightarrow {BD}\Big|=\sqrt{\big6^2+\big(-2\big)^2}=\sqrt{\big40}=2\sqrt{\big10}$

$\cos \phi=\cos\widehat{\Big(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\Big)}=\\\\=\dfrac{AC_x\cdot BD_x+AC_y\cdot BD_y}{\Big|\overrightarrow{AC}\Big|\cdot\Big|\overrightarrow{BD}\Big|}=\dfrac{9\cdot 6+9\cdot (-2)}{9\sqrt{\big2}\cdot 2\sqrt{\big10}}=\\\\=\dfrac{9\cdot 4}{18\cdot \sqrt{20}}=\dfrac{36}{36\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}5$

$\phi=arccos \dfrac{\sqrt5}5\approx63^\circ$

Ответ: √5/5.

Answer 2

К сожалению, я не имею возможности создавать графические изображения, но я могу помочь вам вычислить угол между диагоналями четырехугольника по предоставленным координатам его вершин.

Для начала, давайте найдем длины диагоналей. Диагонали можно вычислить с помощью расстояния между двумя точками в координатной плоскости, используя теорему Пифагора:

Длина диагонали AC: AC^2 = (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2

Где (x_A, y_A) - координаты точки A, а (x_C, y_C) - координаты точки C.

Длина диагонали BD: BD^2 = (x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2

Где (x_B, y_B) - координаты точки B, а (x_D, y_D) - координаты точки D.

После вычисления длин диагоналей, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла между диагоналями. Теорема косинусов гласит:

cos(θ) = (AC^2 + BD^2 - AB^2) / (2 * AC * BD)

Где AB - сторона четырехугольника, которая соединяет вершины A и B, а AC и BD - вычисленные длины диагоналей.

Подставив значения, вы можете вычислить косинус угла (cos(θ)) и затем найти сам угол (θ) с помощью обратного косинуса (арккосинуса).

Итак, шаги:

1. Вычислите длины диагоналей AC и BD, используя указанные координаты вершин.
2. Подставьте значения в формулу теоремы косинусов, чтобы найти cos(θ).
3. Найдите угол θ, применяя обратный косинус (используйте калькулятор или математический софт).

Это позволит вам найти угол между диагоналями четырехугольника.