Question

ПОМОГИТЕ ДАМ 100 БАЛЛОВ Точки D и E-середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Плоскость α проходит через точки B, D и E.Докажите, что прямая AC лежит в плоскости α.​

Answer 1

Ответ:

Аксиома 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Точки В и D лежат в плоскости α, значит все точки прямой BD лежат в плоскости α, т.е. точка А лежит в плоскости α.

Точки В и Е лежат в плоскости α, значит все точки прямой BЕ лежат в плоскости α, т.е. точка С лежит в плоскости α.

Так как две точки прямой АС лежат в плоскости α, то прямая АС лежит в плоскости α.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая AC лежит в плоскости α, мы можем воспользоваться свойством серединных перпендикуляров в треугольнике.

Обозначим точку пересечения прямой AC с плоскостью α как точку F.

Так как D и E - середины сторон AB и BC соответственно, то отрезки AD и CE являются серединными перпендикулярами к соответствующим сторонам треугольника ABC.

Следовательно, AD и CE перпендикулярны к сторонам BC и AB соответственно, и они также пересекаются в точке F.

Теперь у нас есть две пересекающиеся прямые: AD и CE. Так как они обе пересекаются в точке F, то они лежат в одной плоскости, а именно плоскости α (так как F лежит в этой плоскости).

Так как AD и CE - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с их серединами, они также можно рассматривать как векторы. Таким образом, если два вектора (AD и CE) лежат в одной плоскости (плоскости α) и пересекаются, то прямая, соединяющая их начальные точки (то есть точки A и C), также лежит в этой плоскости α.

Итак, прямая AC лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.