Question

В трапеции ABCD с основаниями AD BC AB=BD. На стороне CD взята точка Е, такая, что BE=EC. Доказать, что BE делит диагональ Ас пополам. ​

Answer 1

Ответ: пи пополам

Объяснение: Дима завтракает вечером

Answer 2

Ответ:Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим бук­вой E точку пе­ре­се­че­ния от­рез­ков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как на­крест ле­жа­щие углы; ана­ло­гич­но ∠CLD = ∠ADL, как на­крест ле­жа­щие. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть тре­уголь­ни­ки ABL и CLD рав­но­бед­рен­ные (AB = BL, CL = CD). Тогда бис­сек­три­сы этих тре­уголь­ни­ков BM и CK яв­ля­ют­ся также вы­со­та­ми и ме­ди­а­на­ми. Зна­чит, точки M и K яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AL и DL со­от­вет­ствен­но. От­сю­да сле­ду­ет, что от­ре­зок MK яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ALD. Зна­чит, MK || AD.

Те­перь если рас­смот­реть тре­уголь­ник ABL, по­лу­ча­ем, что от­ре­зок EM па­рал­ле­лен сто­ро­не BL и ис­хо­дит из се­ре­ди­ны сто­ро­ны AL. От­сю­да сле­ду­ет, что EM яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей этого тре­уголь­ни­ка, а зна­чит точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Рас­смот­рим 4-уголь­ник MLKN. Из преды­ду­ще­го пунк­та по­лу­чи­ли, что ∠M = 90°, ∠K = 90°, от­ку­да сле­ду­ет, что

То есть у дан­но­го 4-уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных углов дают , от­ку­да сле­ду­ет, что во­круг него можно опи­сать окруж­ность. Со­еди­ним точки N и L (пе­ре­се­че­ние с MK в точке F) — по­лу­чим 2 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка NML и NKL. Тогда центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не общей ги­по­те­ну­зы NL.

Те­перь за­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки MFL и NFK по­доб­ны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вер­ти­каль­ные; ∠MLF = ∠NKF, как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу MN). Тогда

Ана­ло­гич­но тре­уголь­ни­ки NMF и KFL по­доб­ны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вер­ти­каль­ные; ∠MNF = ∠FKL, как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу ML). Тогда

По­де­лим со­от­но­ше­ния друг на друга:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков NLC и NFK (по 3-м углам) по­лу­чим, что Ана­ло­гич­но из по­до­бия тре­уголь­ни­ков NLB и NFM по­лу­чим, что , от­ку­да сле­ду­ет:

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем, что

Ответ: 5 : 14.

Объяснение:

Answer 3

Для доказательства того, что отрезок BE делит диагональ AC пополам, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Поскольку AB = BD, трапеция ABCD является равнобедренной. Поэтому углы ABC и BCD равны. Также, так как BE = EC, то углы BEC и ECB равны.

Рассмотрим треугольники BAE и DEC. У них две пары равных углов: угол BAE равен углу DEC (по свойству вертикальных углов), а угол ABE равен углу CDE (по свойству параллельных прямых, так как AB || CD).

Теперь мы можем использовать свойство подобных треугольников: если два треугольника имеют две пары равных углов, то они подобны. Следовательно, треугольники BAE и DEC подобны.

Так как BE = EC, а треугольники BAE и DEC подобны, то отношение сторон AB к CD равно отношению сторон AE к DE:

AB/CD = AE/DE

Так как AB = BD, мы можем заменить AB на BD:

BD/CD = AE/DE

Из этого равенства следует, что отношение сторон BD к CD равно отношению сторон AE к DE.

Теперь рассмотрим треугольники BCD и BDE. У них две пары равных углов: угол BCD равен углу BDE (по свойству вертикальных углов), а угол CBD равен углу BED (по свойству параллельных прямых, так как AB || CD).

Так как два треугольника имеют две пары равных углов, то они подобны. Следовательно, треугольники BCD и BDE подобны.

Из подобия треугольников BCD и BDE следует, что отношение сторон BD к CD равно отношению сторон BE к DE:

BD/CD = BE/DE

Таким образом, мы получили два равенства:

BD/CD = AE/DE и BD/CD = BE/DE

Это означает, что AE/DE = BE/DE, или AE = BE.

Поскольку AE = BE, отрезок BE делит диагональ AC пополам.

Таким образом, мы доказали, что отрезок BE делит диагональ AC пополам в трапеции ABCD.