Question

Через центр вписанной в треугольник АБС окружности проведена прямая РК, параллельная стороне АС (Р принадлежит АБ, К принадлежит БС). Докажите, что РК = АР+КС ​

Answer 1

Центр вписанной окружности (I) - точка пересечения биссектрис.

AI - биссектриса, PAI=CAI

PIA=CAI (накрест лежащие при PK||AC)

PAI=PIA => △API - равнобедренный, PA=PI

Аналогично KC=KI

PK =PI+KI =PA+KC

Answer 2

Для доказательства данного утверждения мы можем использовать свойства вписанных углов и касательных к окружности.

Пусть O - центр вписанной окружности треугольника АВС. Так как РК параллельно стороне АС, то по свойству параллельных прямых угол между РК и АС (или, что то же самое, угол BAC) равен углу между РК и стороной АВ (или, что то же самое, угол КАО). Это следует из того, что углы между параллельными прямыми и пересекающей их трансверсальной прямой равны.

Рассмотрим теперь треугольники АРО и КСО. Они имеют два равных угла: угол АОР равен углу ОКС (по свойству вписанных углов, так как они опираются на одну и ту же дугу АС окружности), и угол АРО равен углу КСО (по доказанному выше свойству параллельных прямых).

Таким образом, треугольники АРО и КСО подобны (по двум углам), и соответственно, их стороны пропорциональны. В частности:

АР / КС = ОА / ОС.

Поскольку ОА = ОС (радиус вписанной окружности одинаков для обоих сторон), то АР = КС.

Теперь мы видим, что РК = АР + КС = АР + АР = 2 * АР.

Таким образом, РК = 2 * АР, что и требовалось доказать.