Question

Даны точки: A(1; 1), B(4; 4), C(9; –1), D(6; –4). Определи вид четырехугольника ABCD.​

Answer 1

Ответ:

Прямоугольник.

Объяснение:

$A(1;1)$, $B(4;4)$, $C(9;-1)$, $D(6;-4)$

Найдем координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(4-1;4-1)=(3;3)$

$\overrightarrow{DC}=(x_C-x_D;\; y_C-y_D)=(9-6;\; -1-(-4))=(3;\; 3)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Это значит, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, значит это параллелограмм.

$\overrightarrow{AD}=(x_D-x_A;y_D-y_A)=(6-1;-4-1)=(5;-5)$

Определим угол между соседними сторонами четырехугольника. Для этого найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=x_1x_2+y_1y_2=3\cdot 5+3\cdot (-5)=15-15=0$

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Значит, ABCD - прямоугольник.

Проверим, не равны ли соседние стороны четырехугольника, для этого найдем их длины:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{5^2+(-5)^2}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Соседние стороны не равны, значит ABCD не квадрат.

Итак, АВСD - прямоугольник.

Answer 2

Для определения вида четырехугольника ABCD можно воспользоваться свойствами его сторон и углов. Сначала давайте найдем длины сторон и углы:

Стороны: AB = √((4 - 1)^2 + (4 - 1)^2) = √(3^2 + 3^2) = √18 = 3√2 (по теореме Пифагора) BC = √((9 - 4)^2 + (-1 - 4)^2) = √(5^2 + 5^2) = √50 = 5√2 CD = √((6 - 9)^2 + (-4 + 1)^2) = √((-3)^2 + (-3)^2) = √18 = 3√2 DA = √((1 - 6)^2 + (1 + 4)^2) = √((-5)^2 + 5^2) = √50 = 5√2

Углы: Угол A = ∠BAD Тангенс угла A = |(y2 - y1) / (x2 - x1)| = |(4 - 1) / (4 - 1)| = 3/3 = 1 Угол A = arctan(1) ≈ 45°

Угол B = ∠CBA Тангенс угла B = |(y2 - y1) / (x2 - x1)| = |(4 - 1) / (4 - 1)| = 3/3 = 1 Угол B = arctan(1) ≈ 45°

Угол C = ∠DCB Тангенс угла C = |(y2 - y1) / (x2 - x1)| = |(-1 - 4) / (9 - 4)| = 5/5 = 1 Угол C = arctan(1) ≈ 45°

Угол D = ∠ADC Тангенс угла D = |(y2 - y1) / (x2 - x1)| = |(-4 - 1) / (6 - 1)| = 5/5 = 1 Угол D = arctan(1) ≈ 45°

Исходя из вычисленных углов, видим, что все углы четырехугольника ABCD примерно равны 45°. Это означает, что четырехугольник ABCD является ромбом, так как у ромба все углы равны между собой, и в данном случае, они равны 45°.