Question

Если a) | a | = 5, | b | = 3, <(a, b) = 60 °, сумма векторов a и b; б) Если | a | = √2, | b | = 8, <(a, b) = 45 °, найти длину вектора, равную разности векторов b-a.

Answer 1

Решение:

Cумма векторов

a)

|a| = 5, |b| = 3, <(a, b) = 60 °

c² = a² + b² + 2ab cos 60°

c² = 5² + 3² + 2 · 5 · 3 · 0.5

c² = 49

|c| = 7

b)

|a| = √2, |b| = 8, <(a, b) = 45 °

c² = a² + b² + 2ab cos 45°

c² =  √2² + 8² + 2 · √2 · 8 · 0.5 √2

c² = 82

|c| ≈ 9.06

Разность векторов

a)

|a| = 5, |b| = 3, <(a, b) = 60 °

c² = a² + b² - 2ab cos 60°

c² = 5² + 3² - 2 · 5 · 3 · 0.5

c² = 19

|c| ≈ 4,36

b)

|a| = √2, |b| = 8, <(a, b) = 45 °

c² = a² + b² - 2ab cos 45°

c² =  √2² + 8² - 2 · √2 · 8 · 0.5 √2

c² = 50

|c| ≈ 7.07

Answer 2

Для решения этих задач нам понадобятся знания из линейной алгебры, а именно, навыки работы с векторами. Давайте начнем с первой задачи:

а) У нас есть два вектора a и b, и нам известны их длины и угол между ними. Мы хотим найти сумму этих векторов. Для этого нам нужно использовать правила сложения векторов:

Сумма векторов a и b: a + b = √(|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ)

Где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, θ - угол между ними (в радианах).

В данном случае: |a| = 5, |b| = 3, θ = 60° = π/3.

Подставляя значения в формулу: a + b = √(5^2 + 3^2 + 2 * 5 * 3 * cos(π/3)) a + b = √(25 + 9 + 30) a + b = √64 a + b = 8

Ответ: Длина вектора a + b равна 8.

б) Теперь перейдем ко второй задаче, где нам нужно найти длину вектора, равного разности векторов b - a.

Для этой задачи мы будем использовать формулу для вычисления длины вектора разности:

Длина вектора b - a: |b - a| = √(|b|^2 + |a|^2 - 2|a||b|cosθ)

Здесь также |a| = √2, |b| = 8, θ = 45° = π/4.

Подставляя значения в формулу: |b - a| = √(8^2 + (√2)^2 - 2 * √2 * 8 * cos(π/4)) |b - a| = √(64 + 2 - 16√2 * (√2)/2) |b - a| = √(66 - 16) |b - a| = √50 |b - a| = 5√2

Ответ: Длина вектора, равного разности b - a, равна 5√2.

Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать!