Question

В паралелограмі ABCD відомо, що M – середина AB, N – середина ВС, P – середина CD, Q – середина АD, AC = 10 см, BD = 6 см. Визначити вид чотирикутника MNPQ та знайти його периметр.

Answer 1

Розглядаємо АВС

в якому МN середня лінія, і вона паралельна АС і рівна АС/2=10/2=5см, аналогічно QP=5 і паралельна АС

Звідси випливає що цей чотирикутник є паралелограмом

З трикутника АВД аналогічно знаходимо МQ=BD/2=3

P=3+3+5+5=16см

В: паралелограм, 16 см

Answer 2

Задачу можна розв'язати за допомогою властивостей паралелограма та властивостей серединних ліній в трикутниках.

1. Оскільки у паралелограмі протилежні сторони рівні та паралельні, то AC = BD = 10 см.

2. Ми можемо розглянути трикутники ADC та ABC. За властивістю серединних ліній у трикутнику, вектор AQ = 0.5 * AD, і вектор AQ = 0.5 * CB. Отже, вектор AD = 2 * CB.

3. Знаючи відношення довжин сторін трикутників ADC та ABC (AD = 2 * CB), ми можемо встановити відношення їхніх площ: S_ADC = 2^2 * S_ABC = 4 * S_ABC.

4. Розглянемо тепер трикутники AMQ та CNQ. Знову за властивістю серединних ліній у трикутнику, вектор AM = 0.5 * AQ, і вектор CN = 0.5 * CQ. Отже, вектор AM = 0.5 * CQ.

5. Відношення площ трикутників AMQ та CNQ буде також 4 (S_AMQ = 4 * S_CNQ), оскільки вони мають спільний бічний катет (AM = 0.5 * CQ).

6. З пункту 5 ми бачимо, що чотирикутник MNPQ буде паралелограмом, оскільки протилежні сторони в ньому відповідно MN і PQ, а також MP і NQ, мають однакові площі суміжних трикутників.

7. Тепер ми можемо знайти периметр чотирикутника MNPQ. Периметр паралелограма обчислюється за формулою: P = 2 * (MN + MP).

8. Враховуючи, що MN = PQ = 0.5 * AC = 5 см (за властивістю серединної лінії) і MP = NQ = 0.5 * BD = 3 см, підставимо ці значення в формулу: P = 2 * (5 + 3) = 2 * 8 = 16 см.

Отже, отримали, що чотирикутник MNPQ є паралелограмом, і його периметр дорівнює 16 см.