Question

В равностороннем треугольнике ABC CD медиана AD = 4 Найдите скалярное произведение АВ * ВD.​

Answer 1

Решение:

Сторона треугольника АВ = AD : sin 60° = 4 : 0.5√3 = 8/√3

Стороны треугольника равны, поэтому

ВС = АВ = 8/√3

и

BD = 0.5 ВС = 4/√3

Угол между векторами АВ и BD равен 120°

Скалярное произведение

$\overline {AB} \cdot \overline {BD} = |AB|\cdot |BD|\cdot cos~120^\circ = \dfrac{8}{\sqrt{3} } \cdot \dfrac{4}{\sqrt{3} } \cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big) =- \dfrac{16}{3}=-5 \dfrac{1}{3}$

Answer 2

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, и все медианы совпадают с высотами, биссектрисами и ортоцентрическими перпендикулярами. Также, если у нас есть равносторонний треугольник ABC, то угол между любой стороной и медианой, проведенной к этой стороне, будет составлять 60 градусов.

Так как медиана AD проведена к стороне BC, она разделит эту сторону пополам, то есть BD = CD.

Теперь у нас есть треугольник BCD, в котором известны следующие стороны: BD = CD и угол BCD = 60 градусов. Мы можем использовать закон косинусов для вычисления скалярного произведения AB * BD:

AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2 * BD * AD * cos(BCD)

Поскольку треугольник BCD равносторонний, его угол BCD = 60 градусов, и мы знаем, что AD = 4, BD = CD. Подставим значения:

AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2 * BD * AD * cos(60°) AB^2 = BD^2 + 4^2 - 2 * BD * 4 * 0.5 AB^2 = BD^2 + 16 - 4 * BD AB^2 = 16 - 3 * BD

Так как BD = CD, то AB^2 = 16 - 3 * CD.

Теперь мы должны использовать равенство сторон треугольника BCD (равносторонний треугольник) и выразить CD через BD:

BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 * BD * CD * cos(BCD)

Так как BCD = 60 градусов, а треугольник равносторонний, то BC = BD = CD.

Заменим в уравнении и решим относительно CD:

BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 * BD * CD * cos(60°) BD^2 = BD^2 + CD^2 - 2 * BD * CD * 0.5 CD^2 - BD * CD = 0

Теперь мы имеем уравнение CD^2 - BD * CD = 0, которое можно факторизовать как CD * (CD - BD) = 0. Это означает, что CD = 0 (что не имеет смысла в данном контексте, так как стороны треугольника не могут быть нулевыми) или CD = BD.

Итак, CD = BD, и мы можем вернуться к нашему выражению для AB^2:

AB^2 = 16 - 3 * CD

Теперь, если CD = BD, то AB^2 = 16 - 3 * BD.

В итоге, скалярное произведение AB * BD равно:

AB * BD = sqrt(AB^2) * BD AB * BD = sqrt(16 - 3 * BD) * BD

Это окончательное выражение для скалярного произведения AB * BD в данной задаче.