Question

Дано координати точок А(7 8) В(3 5) С(-5 9) Треба знайти 2.) Рівняння висоти трикутника АВС, опущеної з вершини А на сторону ВС; 3.) Рівняння медіани трикутника АВС, опущеної з вершини В на сторону АС; 4.) Рівняння прямої, яка проходить через точку С паралельно стороні ВС; 5.) Величину кута між прямими АВ та АС; 6.) Відстань від точки С до прямої АВ.

Answer 1

Дано координати точок А(7 8) В(3 5) С(-5 9)

Треба знайти

2.) Рівняння висоти трикутника АВС, опущеної з вершини А на сторону

ВС;  

Находим уравнение прямой ВС. Вектор ВС = (-5-3; 9-5) = (-8; 4).

Уравнение ВС: (x - 3)/(-8) = (y - 5)/4 или в общем виде x + 2y - 13 = 0.

В уравнении высоты АН из точки А на сторону ВС, представленной в виде Ax + By + C = 0 коэффициенты А и В меняются на -В и А.

Получаем уравнение АН: -2x + y + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки А:

-2*7 + 1*8 + С = 0, отсюда С = 14 - 8 = 6.

Уравнение ВС: -2x + y + 6 = 0 или 2x - y - 6 = 0.

3.) Рівняння медіани трикутника АВС, опущеної з вершини В на сторону

АС;  Находим координаты точки М (основание медианы) как середину стороны АС: М = (А(7 8) + С(-5 9))/2 = (1; 8,5).

Вектор ВМ = (1-3; 8,5-5) = (-2; 3,5).

Уравнение ВМ: (x - 3)/(-2) = (y - 5)/3.5 или в целых единицах

(x - 3)/(-4) = (y - 5)/7. Оно же в общем виде 7x + 4y - 41 = 0.

4.) Рівняння прямої, яка проходить через точку С паралельно стороні ВС;   Это и есть прямая ВС.

5.) Величину кута між прямими АВ та АС;

Находим векторы АВ и АС.

Вектор х у Квадрат Длина

АВ = -4 -3 25 5

АС = -12 1 145 12,04159458

cos A = (-4*(-12) + (-3)*1)/(5*√145) = = 0,747409319  

A = 0,726642341 радиан

A = 41,63353934 градусов

6.) Відстань від точки С до прямої АВ.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C| / √(A² + B²).  

Вектор АВ = (-4; -3).

Уравнение АВ: (x - 7)/(-4) = (y - 8)/(-3) или в общем виде 3x - 4y + 11 = 0.

Подставим в формулу коэффициенты точки С и уравнения стороны АВ:

d =   |3·(-5) + (-4)·9 + 11| / √(3² + (-4)²)  =   |-15 - 36 + 11| / √(9 + 16)  =

=   40 /√25  = 8.

Answer 2

2. Рівняння висоти трикутника АВС, опущеної з вершини А на сторону ВС: Спершу знайдемо коефіцієнт наклона сторони ВС: Коефіцієнт наклона = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (5 - 9) / (3 - (-5)) = -4 / 8 = -1/2.

   Використовуючи коефіцієнт наклона -1/2 та координати вершини A(7, 8), можемо записати рівняння прямої, на якій лежить висота з вершини А: y - y₁ = m * (x - x₁) y - 8 = (-1/2) * (x - 7) 2y - 16 = -x + 7 x + 2y = 23.

3. Рівняння медіани трикутника АВС, опущеної з вершини В на сторону АС: Спершу знайдемо координати середньої точки сторони АС: x₃ = (x₁ + x₃) / 2 = (7 + (-5)) / 2 = 1 / 2 y₃ = (y₁ + y₃) / 2 = (8 + 9) / 2 = 17 / 2

   Використовуючи координати середньої точки (1/2, 17/2) та координати вершини B(3, 5), можемо записати рівняння медіани: (y - y₂) / (y - y₃) = (x - x₂) / (x - x₃) (y - 5) / (y - 17/2) = (x - 3) / (x - 1/2) (2y - 10) / (2y - 17) = (2x - 6) / (2x - 1) (2y - 10) / (2x - 1) = (2y - 17) / (2x - 6).

4. Рівняння прямої, яка проходить через точку С паралельно стороні ВС: Коефіцієнт наклона сторони ВС: -1/2.

   Використовуючи координати точки C(-5, 9) та коефіцієнт наклона -1/2, можна записати рівняння шуканої прямої: y - y₁ = m * (x - x₁) y - 9 = (-1/2) * (x - (-5)) 2y - 18 = -x - 5 x + 2y = -23.

5. Величину кута між прямими АВ та АС можна знайти використовуючи їхні коефіцієнти наклона: Кут між двома прямими дорівнює arctan(|(m₁ - m₂) / (1 + m₁ * m₂)|), де m₁ та m₂ - коефіцієнти наклона прямих.

   Для сторін АВ та АС: m₁ (AB) = (8 - 5) / (7 - 3) = 3/4 m₂ (AC) = (9 - 8) / (-5 - 7) = -1/12

   Кут між прямими AB та AC дорівнює: arctan(|(3/4 - (-1/12)) / (1 + (3/4) * (-1/12))|).

6. Відстань від точки С до прямої AB можна обчислити за формулою: Відстань = |Ax + By + C| / sqrt(A² + B²),

   де A, B, C - коефіцієнти рівняння прямої (x + 2y = 23).

   Підставимо координати точки C(-5, 9) та коефіцієнти рівняння прямої: Відстань = |(-5) + 2(9) - 23| / sqrt(1² + 2²).