Question

Даю 70 балів . Дано вершини трикутника А В С ; А(-3;-3) B(5;-7) C(7;7); Знайти а) рівняння сторони AB; б) рівняння висоти CH; в) рівняння медіани AM; г) точку N перетину медіани AM і висоти CH; д) рівняння прямої , що проходить через вершину C паралельно до сторони AB; е) відстань від точки C до прямої AB.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Для розв'язання цих завдань спершу знайдемо координати вершини M (середини сторони AB), потім розглянемо рівняння сторін, висоти та інших елементів трикутника.

а) Рівняння сторони AB: AB - це відрізок між точками A і B. Для знаходження рівняння цього відрізка, використаємо формулу для загального рівняння прямої:

$y = mx + b,$

де $m$ - коефіцієнт нахилу та $b$ - зсув по $y$-осі.

Спершу знайдемо коефіцієнт нахилу $m$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - (-3)}{5 - (-3)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}.$

Тепер знайдемо зсув $b$, використовуючи одну з точок (наприклад, точку A):

$y = -\frac{1}{2}x + b.$ $-3 = -\frac{1}{2}(-3) + b.$ $-3 = \frac{3}{2} + b.$ $b = -\frac{3}{2} - 3 = -\frac{9}{2}.$

Таким чином, рівняння сторони AB має вигляд:

$y = -\frac{1}{2}x - \frac{9}{2}.$

б) Рівняння висоти CH: Висота CH перпендикулярна до сторони AB, тому її коефіцієнт нахилу буде оберненим та зміненою знаку. Щоб знайти рівняння висоти, використаємо координати точок C та H (де H - середина сторони AB):

С(7, 7) - координати точки C, H(1, -5) - координати точки H.

Використовуючи формулу загального рівняння прямої, знаходження висоти, отримаємо:

$y = -\frac{1}{-\frac{1}{2}}x + b.$ $y = 2x + b.$

Підставляючи координати точки H(1, -5), отримаємо:

$-5 = 2(1) + b,$ $-5 = 2 + b,$ $b = -7.$

Отже, рівняння висоти CH має вигляд:

$y = 2x - 7.$

в) Тепер знайдемо координати середини сторони AB (точки M), яка розділяє AB пополам. Використовуючи координати точок A і B:

A(-3, -3) та B(5, -7),

знайдемо середину M:

$M\left(\frac{-3 + 5}{2}, \frac{-3 - 7}{2}\right) = M(1, -5).$

г) Точка N - перетин медіани AM і висоти CH. Отже, для знаходження точки N вирахуємо середину відрізка CH і підставимо її координати в рівняння сторони AB:

Середина CH:

$N\left(\frac{7 + 1}{2}, \frac{7 + (-5)}{2}\right) = N(4, 1).$

Тепер підставимо координати точки N в рівняння сторони AB:

$y = -\frac{1}{2}x - \frac{9}{2}.$ $1 = -\frac{1}{2}(4) - \frac{9}{2}.$ $1 = -2 - \frac{9}{2}.$ $1 = -\frac{13}{2}.$

Ця система рівнянь не має розв'язку, що означає, що точка N не існує.

д) Рівняння прямої, що проходить через вершину C паралельно до сторони AB:

Оскільки сторона AB має рівняння $y = -\frac{1}{2}x - \frac{9}{2}$, то пряма, яка паралельна до неї і проходить через вершину C(7, 7), матиме таке ж значення нахилу:

$y = -\frac{1}{2}x + b.$

Підставляючи координати точки C(7, 7), отримаємо:

$7 = -\frac{1}{2}(7) + b.$ $7 = -\frac{7}{2} + b.$ $b = 7 + \frac{7}{2}.$