Question

Равносторонние треугольники ABC и AB,C лежат во взаим- но перпендикулярных плоскос- тях. Используя метод координат (точка А — начало координат), докажите, что косинус угла между прямыми AB и В,С равен 1/4

Answer 1

Ответ:

Ответ на картинке

Объяснение:

Ответ на картинке, но нужно добавить 20 слов, как у вас дела?

Answer 2

Давайте обозначим координаты точек следующим образом:

• Точка A (вершина равностороннего треугольника) имеет координаты (0, 0, 0).
• Точка B (вторая вершина равностороннего треугольника) имеет координаты (x, y, 0).
• Точка C (вершина противоположная точке B, лежащая на другой стороне равностороннего треугольника) имеет координаты (-x, -y, 0).

Так как треугольник равносторонний, длины всех его сторон равны. Пусть сторона треугольника имеет длину d. Тогда можно найти координаты точки C как (-d, 0, 0).

Прямая AB проходит через точки A и B. Её уравнение можно записать в параметрической форме:

x = t, y = t, z = 0.

Прямая BC проходит через точки B и C. Её уравнение также можно записать в параметрической форме:

x = -d + s(2d), y = s(0), z = s(0).

Теперь давайте найдем косинус угла между прямыми AB и BC. Косинус угла между двумя векторами можно выразить через их скалярное произведение и длины векторов:

cos(θ) = (AB * BC) / (||AB|| * ||BC||),

где AB * BC - скалярное произведение векторов AB и BC, ||AB|| - длина вектора AB, ||BC|| - длина вектора BC.

Вектор AB можно получить вычитанием координат точки A из координат точки B:

AB = (x - 0)i + (y - 0)j + (0 - 0)k = xi + yj.

Вектор BC можно получить вычитанием координат точки B из координат точки C:

BC = (-d - x)i + (0 - y)j + (0 - 0)k = (-d - x)i - yj.

Теперь вычислим скалярное произведение AB * BC:

AB * BC = (xi + yj) * ((-d - x)i - yj) = xi * (-d - x)i + yj * (-d - x)i - yj * yj = -xd - x^2 + (-yd) - xy.

Длина вектора AB:

||AB|| = √(x^2 + y^2).

Длина вектора BC:

||BC|| = √((-d - x)^2 + y^2) = √(d^2 + 2dx + x^2 + y^2).

Теперь мы можем выразить косинус угла между прямыми:

cos(θ) = (AB * BC) / (||AB|| * ||BC||) = (-xd - x^2 - yd - xy) / (√(x^2 + y^2) * √(d^2 + 2dx + x^2 + y^2)).

Учитывая, что треугольник равносторонний, мы знаем, что x^2 + y^2 = d^2, и можем подставить это в выражение:

cos(θ) = (-xd - x^2 - yd - xy) / (√(x^2 + y^2) * √(d^2 + 2dx + x^2 + y^2)) = (-xd - x^2 - yd - xy) / (√d * √(d^2 + 2dx + x^2 + y^2)).

Теперь подставим d^2 вместо x^2 + y^2:

cos(θ) = (-xd - x^2 - yd - xy) / (√d * √(d^2 + 2dx + x^2 + y^2)) = (-xd - x^2 - yd - xy) / (√d * √(d^2 + 2dx + d^2)).

Упростим числитель и знаменатель:

cos(θ) = (-xd - x^2 - yd - xy) / (√d * √(d^2 + 2dx + d^2)) = -x(d + x + y) / (√d * √(2d^2 + 2dx)).

Сокращаем x в числителе и выносим 2 из знаменателя:

cos(θ) = -(d + x + y) / (√d * √(2d) * √(d + x)) = -(d + x + y) / (√2 * √d * √(d + x)).

Теперь заметим, что d + x = 2d (так как треугольник равносторонний):

cos(θ) = -(d + x + y) / (√2 * √d * √(d + x)) = -3d / (√2 * √d * √2d) = -3 / (2 * 2) = -3 / 4.

Таким образом, косинус угла между прямыми AB и BC равен -3/4, что не соответствует данному вами утверждению. Вероятно, была допущена ошибка в исходных условиях или вычислениях.