Question

В прямоугольном треугольнике соsα = 5/√74. Вычислите tgα и sinα. *​

Answer 1

cosA = 5/√74. Найти: tgA, sinA.

По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^{2} ( \alpha ) = 1 - \cos^{2} ( \alpha )$

Отсюда:

$\sin^{2} ( \alpha ) = 1 - ( \frac{5}{ \sqrt{74} } )^{2} = 1 - ( \frac{25}{74} ) = \frac{49}{74}$

Это значит:

$\sin( \alpha ) = \sqrt{ \frac{49}{74} } = \frac{7}{ \sqrt{74} }$

По тождеству тангенса:

$\tan( \alpha ) = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) }$

Отсюда легко найти значение функции:

$\tan( \alpha ) = \frac{7}{ \sqrt{74} } \div \frac{5}{ \sqrt{74} } = \frac{7}{ \sqrt{74} } \times \frac{ \sqrt{74} }{5} = \frac{7}{5}$

(На всякий случай, функции тангенса и котангенса взаимнообратны:

$\tan( \alpha ) = \frac{1}{ \cot( \alpha ) }$

Значит, котангенс будет равен 5/7)

Answer 2

Для нахождения значений tg(α) и sin(α), нам сначала нужно найти угол α в прямоугольном треугольнике, а затем можно будет вычислить tg(α) и sin(α).

Мы знаем, что cos(α) = 5/√74, и в прямоугольном треугольнике соотношение между косинусом и тангенсом угла α следующее:

tg(α) = 1/√(1 - cos²(α))

Давайте вычислим tg(α):

tg(α) = 1/√(1 - (5/√74)²) tg(α) = 1/√(1 - 25/74) tg(α) = 1/√(49/74) tg(α) = √(74/49) tg(α) = √(74)/√(49) tg(α) = √(74)/7

Теперь давайте найдем sin(α) в том же треугольнике. Используя соотношение между синусом и косинусом угла α:

sin(α) = √(1 - cos²(α))

sin(α) = √(1 - (5/√74)²) sin(α) = √(1 - 25/74) sin(α) = √(49/74 - 25/74) sin(α) = √(24/74) sin(α) = √(12/37)

Итак, значение tg(α) равно √(74)/7, а значение sin(α) равно √(12/37).