Question

Відомо що вершини трикутника розміщені в точках А(4;-1),В(2;3),С(-4;1).Визначити вид кута В трикутника АВС

Answer 1

Ответ:

∠В-тупой.

Объяснение:

Найдем стороны данного треугольника, как расстояние между точками, по формуле расстояния между точками

$M(x{_1};y{_1}),N(x{_2};y{_2})$

$d=MN=\sqrt{(x{_1}-x{_2})^{2}+(y{_1}-y{_2})^{2} } .$

$A(4;-1),B(2;3),C(-4;1)\\AB=\sqrt{(4-2)^{2}+(-1-3)^{2} } =\sqrt{2^{2} +(-4)^{2} } =\sqrt{4+16} =\sqrt{20} =2\sqrt{5} ;\\BC=\sqrt{(2+4)^{2}+(3-1)^{2} } =\sqrt{6^{2} +2^{2} } =\sqrt{36+4} =\sqrt{40} =2\sqrt{10} ;\\AC=\sqrt{(4+4)^{2}+(-1-1)^{2} } =\sqrt{8^{2} +(-2)^{2} } =\sqrt{64+4} =\sqrt{68} =2\sqrt{17} ;$

Найдем  косинус угла В треугольника по теореме косинусов.

Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\cdot AB \cdot BC\cdot cosB;\\(\sqrt{68} )^{2} =(\sqrt{20})^{2} +(\sqrt{40} )^{2} -2\cdot \sqrt{20} \cdot\sqrt{40} \cdot cosB;\\68=20+40-2\sqrt{800} \cdot cosB;\\40\sqrt{2} \cdot cosB=60-68;\\40\sqrt{2} \cdot cosB=-8;\\\\cosB=\dfrac{-8}{40\sqrt{2} } ;\\\\cosB=-\dfrac{1}{5\sqrt{2} } ;\\cosB=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}$

так как косинус угла отрицательное число, то угол В -тупой.

Answer 2

Для визначення вида кута В трикутника ABC, спочатку ми повинні знайти координати векторів AB та BC, а потім використовувати їх для обчислення скалярного добутку цих векторів. Скалярний добуток двох векторів допомагає визначити кут між ними. Виразимо вектори AB та BC:

Вектор AB = B - A = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)

Вектор BC = C - B = (-4 - 2, 1 - 3) = (-6, -2)

Тепер обчислимо скалярний добуток цих векторів:

AB · BC = (-2) * (-6) + 4 * (-2) = 12 - 8 = 4

Скалярний добуток векторів AB і BC дорівнює 4.

Тепер ми можемо визначити кут між цими векторами за допомогою формули для скалярного добутку:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|)

де |AB| - довжина вектора AB, і |BC| - довжина вектора BC.

|AB| = √((-2)^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20

|BC| = √((-6)^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40

cos(θ) = 4 / (√20 * √40) = 4 / (√(20 * 40)) = 4 / (√(800)) = 4 / (20√2) = 1 / (5√2)

Тепер, щоб знайти кут θ, використовуємо обернений косинус:

θ = arccos(1 / (5√2))

Це дозволить вам знайти величину кута θ в радіанах. Щоб перевести це значення у градуси, помножте його на (180/π):

θ(в градусах) = (180/π) * arccos(1 / (5√2))

Значення θ(в градусах) буде видом кута В трикутника ABC.