Question

Дан треугольник ABC. На сторонах AB и AC соответственно отложены точки D и E так, что DE= 4 см и ADBD=3/2. Через точки B и C проведена плоскость α, которая параллельна отрезку DE. Сторона BC равна___см.

Answer 1

Дано:

ΔABC

D∈AB, E∈AC

(ABC)∩α = AB

DE= 4 см

AD/BD=3/2

----------------------------------

Найти:

BC - ?

Решение:

ΔABC пересекает плоскость α по прямой BC, то есть BC - общая прямая для плоскостей α и ABC.

Так как α||DE, то DE||BC исходя из того что ∠A-общий, а ∠ADE = ∠ABC (соответственные при DE||BC и пересекающей их BA) ⇒ ΔABC и ΔADE - подобны.

Тогда: BC/DE = AB/AD = 1+AD/BD = 1+3/2 = 5/2 ⇒ BC/DE = 5/2 ⇒ 2BC = 5DE ⇒ BC = 5/2 × DE

BC = 5/2 × 4 см = 20/2 см = 10 см

Ответ: BC = 10 см

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся подобием треугольников.

Известно, что отрезок DE параллелен отрезку BC, и поэтому треугольники ABC и ADE подобны.

Мы знаем, что DE = 4 см и ADBD = 3/2. Так как отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению длин соответствующих сторон, мы можем записать:

AB / AD = BC / DE

AB / (AD + DB) = BC / DE

AB / (AD + 3/2) = BC / 4

Теперь нам нужно выразить AB через BC. Мы также знаем, что отрезок DE параллелен BC, поэтому угол BDE также равен углу ABC. Это позволяет нам использовать теорему Пифагора для треугольника ABD:

AD^2 + BD^2 = AB^2

(AD + 3/2)^2 + (3/2)^2 = AB^2

(AD + 3/2)^2 + 9/4 = AB^2

Теперь мы можем подставить это значение AB^2 в наше первое уравнение:

AB / (AD + 3/2) = BC / 4

(AD + 3/2)^2 + 9/4 = (BC / 4)^2

(AD + 3/2)^2 = (BC / 4)^2 - 9/4

AD + 3/2 = sqrt((BC / 4)^2 - 9/4)

AD = sqrt((BC / 4)^2 - 9/4) - 3/2

Теперь мы знаем AD, и мы можем использовать его в нашем уравнении для AB:

(AD + 3/2)^2 + 9/4 = AB^2

(sqrt((BC / 4)^2 - 9/4) - 3/2 + 3/2)^2 + 9/4 = AB^2

(sqrt((BC / 4)^2 - 9/4))^2 + 9/4 = AB^2

(BC / 4)^2 - 9/4 + 9/4 = AB^2

(BC / 4)^2 = AB^2

BC / 4 = AB

BC = 4 * AB

Теперь у нас есть выражение для BC через AB. Мы видим, что BC в 4 раза больше, чем AB. Теперь нам нужно найти значение AB.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABD:

AD^2 + BD^2 = AB^2

(AD + 3/2)^2 + (3/2)^2 = AB^2

(AD + 3/2)^2 + 9/4 = AB^2

AB = sqrt((AD + 3/2)^2 + 9/4)

Теперь мы знаем AB и можем найти BC:

BC = 4 * AB

BC = 4 * sqrt((AD + 3/2)^2 + 9/4)

Теперь нам осталось найти значение AD. Мы знаем, что AD = DE - DB, и DE = 4 см, а DB = 3/2 см:

AD = 4 - 3/2

AD = 8/2 - 3/2

AD = 5/2 см

Теперь мы можем найти значение BC:

BC = 4 * sqrt((AD + 3/2)^2 + 9/4)

BC = 4 * sqrt((5/2 + 3/2)^2 + 9/4)

BC = 4 * sqrt((4)^2 + 9/4)

BC = 4 * sqrt(16 + 9/4)

BC = 4 * sqrt(64/4 + 9/4)

BC = 4 * sqrt(73/4)

BC = 4 * (sqrt(73)/2)

BC = 2 * sqrt(73)

Таким образом, сторона BC равна 2 * sqrt(73) см.