Question

90 баллов!!! Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, делится её диагоналями на три отрезка. Докажите, что два из них равны

Answer 1

Ответ:

Пусть точки M и N расположены на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD, K и L – точки пересечения прямой MN с диагоналями AC и BD,  MN || BC.

  Треугольник AMK подобен треугольнику ABC, а треугольник DNL – треугольнику DCB, причём коэффициенты подобия одинаковы, так как

AM : AB = DN : DC.   Следовательно,  MK = LN.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим трапецию и обозначим её элементы. Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Давайте также обозначим точку пересечения диагоналей как E, так что AC и BD - это диагонали, пересекающиеся в точке E.

Теперь предположим, что отрезок, параллельный основаниям трапеции и заключенный между ними, делится диагоналями AC и BD на три отрезка, и нам нужно доказать, что два из них равны.

Обозначим точки разбиения на диагоналях следующим образом:

1. Пусть точка разбиения AC будет F, так что AF равно одному из трех отрезков.
2. Пусть точка разбиения BD будет G, так что BG равно другому отрезку.
3. Пусть H будет точкой, разделяющей отрезок параллельный основаниям на два равных отрезка, то есть FH = HG.

Теперь мы должны использовать свойства подобных треугольников. Заметим, что треугольники AHE и CGE подобными. Почему? Потому что у них по два угла, которые равны (угол AHE и угол CGE оба являются прямыми углами, так как они прямоугольники). Таким образом, у них равны соответствующие углы, и они подобны по признаку угловой подобности.

Из подобия треугольников AHE и CGE мы можем сделать следующий вывод:

(AH / CG) = (HE / GE)

Теперь давайте рассмотрим треугольники AFB и CGB. Они также подобными, так как у них по два угла, которые равны (угол AFB и угол CGB оба равны, так как они вертикальные углы). Таким образом, у них равны соответствующие углы, и они подобны по признаку угловой подобности.

Из подобия треугольников AFB и CGB мы можем сделать следующий вывод:

(AF / CG) = (FB / GB)

Теперь давайте объединим оба этих уравнения:

1. (AH / CG) = (HE / GE) (из подобия AHE и CGE)
2. (AF / CG) = (FB / GB) (из подобия AFB и CGB)

Теперь давайте выразим AH и AF через HE и FB:

1. AH = (HE / GE) * CG
2. AF = (FB / GB) * CG

Так как FH и HG равны, то CG = FH + HG. Мы можем заменить CG в уравнениях выше:

1. AH = (HE / GE) * (FH + HG)
2. AF = (FB / GB) * (FH + HG)

Теперь мы видим, что AH и AF выражены через HE, FB и HG. Обратим внимание, что HE и FB - это два из трех отрезков, на которые делится отрезок, параллельный основаниям. Таким образом, AH и AF - это два из трех отрезков, на которые делится отрезок, параллельный основаниям. Это означает, что два из них равны.

Таким образом, мы доказали, что два из трех отрезков, на которые делится отрезок, параллельный основаниям трапеции, равны.