Question

Площадь треугольника на 20 см2 больше площади подобного треугольника. Периметр меньшего треугольника относится к периметру большего треугольника как 2 : 3. Определи площадь меньшего из подобных треугольников.

Answer 1

Ответ:

площадь меньшего треугольника =>х

большего=>х+20

$\frac{x}{ x + 20} = (\frac{2y}{3y} ) {}^{2} \\ \frac{x}{x + 20} = \frac{4}{9} \\ x = 16$

Answer 2

Давайте обозначим площадь меньшего треугольника через S1, а площадь большего треугольника через S2.

Известно, что площадь треугольника на 20 см² больше площади подобного треугольника:

S2 = S1 + 20 (1)

Также известно, что отношение периметров меньшего треугольника (P1) к периметру большего треугольника (P2) составляет 2:3:

P1 / P2 = 2 / 3

Периметр треугольника можно выразить как:

P = a + b + c,

где a, b и c - длины сторон треугольника.

Поскольку меньший треугольник подобен большему, отношение длин его сторон также равно 2:3. Пусть коэффициент подобия между сторонами меньшего и большего треугольников равен k, тогда:

a1 = k * a2, b1 = k * b2, c1 = k * c2

Теперь мы можем выразить периметры меньшего и большего треугольников через коэффициент подобия k:

P1 = (k * a2) + (k * b2) + (k * c2) = k * (a2 + b2 + c2) = k * P2

Теперь у нас есть отношение периметров:

P1 / P2 = k * P2 / P2 = k

Мы знаем, что P1 / P2 = 2 / 3, поэтому:

k = 2 / 3

Теперь мы можем использовать это значение k, чтобы найти отношение площадей S1 и S2, так как оно также равно 2:3 из-за подобия:

S1 / S2 = (a1 * b1 * sin(α1)) / (a2 * b2 * sin(α2))

где α1 и α2 - углы меньшего и большего треугольников.

Так как треугольники подобны, углы α1 и α2 равны. Также известно, что площадь треугольника можно выразить как:

S = (1/2) * a * b * sin(α)

Теперь мы можем записать отношение площадей:

S1 / S2 = ((1/2) * a1 * b1 * sin(α1)) / ((1/2) * a2 * b2 * sin(α2))

S1 / S2 = (a1 * b1) / (a2 * b2)

Теперь мы можем подставить a1 = (2/3) * a2 и b1 = (2/3) * b2 (по коэффициенту подобия k):

S1 / S2 = ((2/3) * a2 * (2/3) * b2) / (a2 * b2)

S1 / S2 = (4/9) * (a2 * b2) / (a2 * b2)

S1 / S2 = 4/9

Теперь мы знаем отношение площадей S1 и S2:

S1 / S2 = 4/9

Теперь мы можем использовать уравнение (1) для нахождения S1:

S2 = S1 + 20

S1 = S2 - 20

Подставляем S1 / S2 = 4/9:

(S2 - 20) / S2 = 4/9

Теперь решаем уравнение:

9(S2 - 20) = 4S2

Раскрываем скобки:

9S2 - 180 = 4S2

Переносим все S2 на одну сторону:

9S2 - 4S2 = 180

5S2 = 180

Теперь делим обе стороны на 5, чтобы найти S2:

S2 = 180 / 5 = 36

Теперь, когда мы знаем площадь большего треугольника S2, мы можем найти площадь меньшего треугольника S1, используя уравнение (1):

S1 = S2 - 20 = 36 - 20 = 16

Ответ: Площадь меньшего треугольника составляет 16 квадратных сантиметров.