Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1. AB=2, AD=AA1=1. Найдите угол между АА1 и плоскостью АВ1D1.

Answer 1

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.

A1H - перпендикуляр к плоскости (AB1D1), ∠A1AH - искомый угол.

1)

В треугольнике AB1D1 проведем высоту AK, AK⊥B1D1

AA1⊥(A1B1D1) => AA1⊥B1D1

Следовательно B1D1⊥(AA1K) и (AB1D1)⊥(AA1K)

Перпендикуляр A1H лежит в плоскости (AA1K)

(то есть в плоскости, проходящей через высоту AK)

Рассуждение верно для всех сторон △АB1D1, следовательно H - точка пересечения высот.

Рассмотрим △AB1D1, H - ортоцентр, найдем AH.

AD1 =√5, AB1 =√2 (т Пифагора)

Треугольник равнобедренный, высота к основанию является медианой.

AM =AB1/2 =√2/2

D1M =√(AD1^2 -AM^2) =√(5 -1/2) =3/√2

△AHM~△D1AM => AH/AM =AD1/D1M => AH =√2/2 *√5 *√2/3 =√5/3

cos(A1AH) =AH/AA1 =√5/3, ∠A1AH =arccos(√5/3)

2)

Найдем объем тетраэдра A1AB1D1

V= 1/3 *A1D1 *S(AA1B1) =1/3 *2 *1/2 =1/3

S(AB1D1) =1/2 *√2 *3/√2 =3/2

V= 1/3 *A1H *S(AB1D1) =1/3 *A1H *3/2

Приравниваем объемы, A1H =2/3

sin(A1AH) =A1H/AA1 =2/3, ∠A1AH =arcsin(2/3)

Answer 2

Для нахождения угла между вектором $\vec{AA_1}$ и плоскостью $AB_1D_1$ в прямоугольном параллелепипеде, мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов. Угол $\theta$ между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{n}$ (нормалью к плоскости $AB_1D_1$) можно выразить следующим образом:

$\cos(\theta) = \frac{{\vec{AA_1} \cdot \vec{n}}}{{|\vec{AA_1}| \cdot |\vec{n}|}}$

Сначала найдем вектор $\vec{AA_1}$. Вектор $\vec{AA_1}$ можно найти, вычитая координаты точки $A_1$ из координат точки $A$:

$\vec{AA_1} = (A_1X - AX) \vec{i} + (A_1Y - AY) \vec{j} + (A_1Z - AZ) \vec{k}$

Точки $A$ и $A_1$ имеют следующие координаты:

$A (0, 0, 0)$ $A_1 (1, 0, 0)$

Теперь вычислим вектор $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = (1 - 0) \vec{i} + (0 - 0) \vec{j} + (0 - 0) \vec{k} = \vec{i}$

Теперь найдем нормаль $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$. Плоскость $AB_1D_1$ проходит через точки $A$, $B_1$ и $D_1$. Мы можем найти два вектора, лежащих в этой плоскости, и затем найти их векторное произведение, чтобы найти нормаль $\vec{n}$.

Вектор 1: $\vec{AB_1}$ $B_1$ имеет координаты (2, 0, 0), поэтому: $\vec{AB_1} = (2 - 0) \vec{i} + (0 - 0) \vec{j} + (0 - 0) \vec{k} = 2\vec{i}$ 0 0