Question

В треугольнике с вершинами А(3;-1) , В(-1; 2) и С(2;2) найдите косинус угла В.

Answer 1

Ответ:

0,8

Объяснение:

1) Чтобы рассчитать косинус угла В, надо построить прямоугольный треугольник, а затем длину прилежащего катета разделить на длину гипотенузы.

2) Треугольник АВС не является прямоугольным, т.к. вершины В и С лежат на одной горизонтали (у обеих этих точек у=2), но точки А и С не лежат на одной вертикали, так как у них координаты х не равны: у точки А координата х = 3, а у точки С координата х = 2. Значит, угол С - тупой.

3) Построим точку D - такую, чтобы она лежала на линии ВС, но угол ВDА был бы прямым. Для этого координаты у точки D должны быть х = 3 (как у точки А) и у = 2 (как у точек В и С).

4) Находим длину гипотенузы АВ:

АВ = √[(х₂ - х₁)² + (у₂-у₁)²] = √[(-1 - 3)² + (2-(-1))²]  = √[16 +9] = 5.

5) Находим длину катета АD:  

АD = √[(х₂ - х₁)² + (у₂-у₁)²] = √[(3 - 3)² + (2-(-1))²]  = √9 = 3.

6) Находим длину катета ВD:  

ВD = √[(х₂ - х₁)² + (у₂-у₁)²] = √[(-1 - 3)² + (2-2)²]  = √16 = 4.

7) В прямоугольном треугольнике ABD косинусом угла В является отношение прилежащего катета BD к гипотенузе АВ:

cos ∠ B = BD : АВ = 4 : 5 = 0,8.

Ответ: cos ∠ B = 0,8.

Примечание.

В пп. 4-6 расчетов подстрочным индексом 1 обозначены координаты той точки, которая в наименовании отрезка указана первой.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла В в треугольнике с вершинами А(3,-1), В(-1,2) и С(2,2), мы можем использовать следующую формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AB ⋅ BC) / (|AB| * |BC|),

где AB и BC - векторы, их скалярное произведение AB ⋅ BC равно произведению их длин и косинусу угла между ними.

Сначала найдем векторы AB и BC:

AB = (xB - xA, yB - yA) = (-1 - 3, 2 - (-1)) = (-4, 3),

BC = (xC - xB, yC - yB) = (2 - (-1), 2 - 2) = (3, 0).

Теперь найдем длины этих векторов:

|AB| = √((-4)^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5,

|BC| = √(3^2 + 0^2) = √9 = 3.

Теперь можем вычислить скалярное произведение AB ⋅ BC:

AB ⋅ BC = (-4 * 3) + (3 * 0) = -12.

И, наконец, вычислим косинус угла В:

cos(В) = (AB ⋅ BC) / (|AB| * |BC|) = (-12) / (5 * 3) = -12 / 15 = -4/5.

Таким образом, косинус угла В равен -4/5.