Question

У правільній шестікутній прізмі площа найбільшого діагонального перерізу 4 м, а відстань между двома протилежних бічнімі гранями 2 м. Знайте об'єм призми.

Answer 1

Дано:

ABCDLMA₁B₁C₁D₁FK - правильная шестиугольная призма

AA₁D₁D - прямоугольник

S(AA₁D₁D) = 4 м²

MB = 2 м

-----------------------------------------------------------------------------------------

Найти:

V - ?

Решение:

Наибольшее диагональное сечение — это AA₁D₁D. Тогда AD — диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника. Так что AD=2R и АВ=АМ=R. ∠MAB найдем по формуле:

∠MAB = 180°×(n-2)/n = 180°×(6-2)/6 = 180°×4/6 = 30°×4 = 120°

Тогда: ∠MAX = 1/2 × ∠MAB = 1/2 × 120° = 60° ⇒ MX = 1/2 × MB = 1/2 × 2 м = 1 м

Далее, мы находим сторону AX из прямоугольного ΔАМХ:

AM = MX/sin∠MAX = 1 м/sin 60° = 1 м/√3/2 = 1 м × 2/√3 = 2/√3 м × √3/√3 = 2√3/3 м ⇒ R = AM = 2√3/3 м

Значит что сторона AD будет равен:

AD = 2R = 2 × 2√3/3 м = 4√3/3 м

Теперь находим высоту AA₁ с помощью формулы прямоугольника AA₁D₁D:

S(AA₁D₁D) = AA₁ × AD - площадь прямоугольника

4м² = AA₁ × 4√3/3 м ⇒ AA₁ = 4м²/4√3/3 м = 4×3/4√3 м = 12/4√3 м × √3/√3 = 12√3/4×(√3)² м = 12√3/4×3 м = 12√3/12 м = √3 м

Далее, мы находим площадь основания правильной шестиугольной призмы, мы знаем площадь основания равна площади шести равносторонних, то есть:

Sосн = 6S(ΔAMO) = 6×1/2×MO×AO×sin 60° = 6×1/2×(2√3/3 м)² × √3/2 = 3 × 12/9 м² × √3/2 = 3 × 4/3 м² × √3/2 = 4 м² × √3/2 = 2√3 м²

И теперь находим объем правильной шестиугольной призмы:

V = Sосн × h = Sосн × AA₁ = 2√3 м² × √3 м = 2×(√3)² м³ = 2×3 м³ = 6 м³

Ответ: V = 6 м³

P.S. Рисунок показан внизу↓

Answer 2

Щоб знайти об'єм правильної шестикутної призми, вам потрібно знати площу її найбільшого діагонального перерізу та відстань між двома протилежніми бічними гранями.

Площа діагонального перерізу призми може бути знайдена за допомогою формули:

Площа = (більший бік * менший бік * √3) / 4

Де більший бік - це довжина сторін шестикутної призми, а менший бік - діагональ перерізу (у цьому випадку 4 м). Підставимо значення:

Площа = (4 м * 4 м * √3) / 4 Площа = 4 м² * √3

Тепер, коли у нас є площа діагонального перерізу, можемо знайти об'єм призми. Об'єм призми може бути знайдений за допомогою наступної формули:

Об'єм = Площа діагонального перерізу * Відстань між бічними гранями

Об'єм = (4 м² * √3) * 2 м Об'єм = 8 м³ * √3

Отже, об'єм правильної шестикутної призми дорівнює 8 м³ * √3.