Question

Решите плиз две задачи С ПОШАГОВЫМИ РЕШЕНИЯМИ, сорян что задачи на мове. Кстати, с Новым 2022 Годом!!! 1. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 12 см і утворює з площиною основи кут 30 градусів. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, вписаної в циліндр. 2. Висота основи правильної трикутної призми дорівнює 9 см, а бічне ребро призми - 4 см. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра, описаного навколо даної призми.

Answer 1

Объяснение:

№1

Позначемо вершини осьового перерізу АВСД, а вершини призми КМЕ і К₁М₁Е₁, центр кола циліндра О і О₁. Осьовий переріз – це прямокутник, а діагональ АС ділить його на 2 рівні прямокутні трикутники АВС і САД. Розглянемо ∆АСД. В ньому АД і СД – катети, а АС – гіпотенуза. Катети АД також є діаметром циліндра. Знайдемо АД через косинус кута. Косинус кута – це відношення прилеглого до кута катета до гіпотенузи, тому:

cosСАД=АД/АС →

→ АД=АС×cosСАД=12×cos30°=12×√3/2=

=12√3/2=6√3см.

Якщо діаметр АД=6√3см, то R=АО=ОД=АД÷2=6√3÷2=3√3см.

Основою правильної трикутної призми є правильний трикутник, в якого всі сторони та кути рівні. Знайдемо сторону цвєї основи, користуючись формулою знаходження радіуса описанного кола:

R=a/√3, де а=КЕ – сторона основи.

КЕ=КМ=МЕ=К₁М=М₁Е=К₁Е₁=R×√3=3√3×√3==3×3=9см.

Бічне ребро призми дорівнює висоті циліндра, тому:

АВ=СД=КК₁=ММ₁=ЕЕ₁.

З ∆АСД знайдемо висоту призми, яка також є висотою циліндра за теоремою Піфагора:

АС²=АД²+СД² →

→ СД²=АС²–АД²=12²–(6√3)²=144–36×3=

=144–108=36;

СД=АВ=КК₁=ММ₁=ЕЕ₁=√36=6см.

Так як призма прямокутна та правильна, то всі ії бічні грані рівні, тоді знайдемо площу однієї грані, наприклад КК₁Е₁Е:

Sгр=КЕ×КК₁=9×6=54см².

Так як всього граней 3, знайдемо площу бічної поверхні. Площа бічної поверхні – це сума всіх бічних граней призми:

Sб.=Skk₁e₁e+Skk₁m₁m₁+Smm₁e₁e

Sб.=54×3=162см²

ВІДПОВІДЬ: Sб.=162см².

№2

Позначемо вершини осьового перерізу АВСД, вершини призми КМЕ і К₁М₁Е₁, висоту основи МН, а центр кола циліндра О і О₁. Основою правильної трикутної призми є правильний трикутник, в якого всі сторони і кути рівні. Знайдемо сторону трикутника за формулою висоти:

МН=КЕ×√3/2

добуток середніх членів пропорції дорівнює добутку крайніх:

КЕ×√3=2×МН

КЕ×√3=2×9

КЕ=18/√3.

КЕ=КМ=МЕ=К₁М=М₁Е=К₁Е₁=18/√3см.

Знайдемо радіус описаного кола за формулою:

R=a/√3, де а – КЕ – це сторона основи.

R=АО=ОД=АД÷2=18/√3÷√3=

=18/√3×1/√3=18÷3=6см.

Знайдемо діаметр АД. АД=2×R=6×2=12см.

Бічне ребро призми дорівнює висоті циліндра, тому:

АВ=СД=КК₁=ММ₁=ЕЕ₁. Осьовий переріз – це прямокутник АВСД, знайдемо його площу:

Sавсд=АД×АВ=12×4=48см²

ВІДПОВІДЬ: Sавсд=48см²

ОСЬОВИЙ ПЕРЕРІЗ на обох малюнках зафарбовані сірим кольором, а ПРИЗМА червоним кольором.

Answer 2

Решение математических задач

1. Нахождение площади боковой поверхности призмы, вписанной в цилиндр:

Для начала найдем радиус основания цилиндра. Для этого воспользуемся формулой для диагонали осевого сечения цилиндра:

$$d = 2r$$ $$r = \frac{d}{2}$$

Где $d$ - диагональ осевого сечения цилиндра, равная 12 см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Для этого воспользуемся формулой:

$$S = \frac{1}{2} \times P \times l$$

Где $P$ - периметр основания призмы, а $l$ - высота призмы.

2. Нахождение площади осевого сечения цилиндра, описанного вокруг призмы:

Для начала найдем радиус описанного цилиндра. Для этого воспользуемся формулой для бокового ребра призмы:

$$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$

Где $h$ - высота призмы, равная 9 см, а $a$ - боковое ребро призмы, равное 4 см.

Теперь найдем площадь осевого сечения цилиндра. Для этого воспользуемся формулой:

$$S = \pi \times r^2$$

Где $r$ - радиус описанного цилиндра.

Решение задач

1. Нахождение площади боковой поверхности призмы: - Радиус цилиндра: $r = \frac{12}{2} = 6$ см [[1]]. - Периметр основания призмы: $P = 3 \times a$, где $a$ - длина стороны основания призмы. - Длина стороны основания призмы: $a = 2 \times r \times \sin(30^\circ)$. - Площадь боковой поверхности призмы: $S = \frac{1}{2} \times P \times l$.

2. Нахождение площади осевого сечения цилиндра: - Боковое ребро призмы: $l = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$ см [[2]]. - Радиус описанного цилиндра: $r = \frac{\sqrt{85}}{2}$. - Площадь осевого сечения цилиндра: $S = \pi \times r^2$.

Ответ: 1. Площадь боковой поверхности призмы, вписанной в цилиндр, равна $S_1$ кв. см. 2. Площадь осевого сечения цилиндра, описанного вокруг данной призмы, равна $S_2$ кв. см.

Пожалуйста, проверьте полученные ответы и сообщите, если возникнут дополнительные вопросы.