Question

У рівнобедринному трикутнику АВС на бічних сторонах АС і ВС відповідно відкладені відрізки СМ і СК (СМ=СК). Відрізки АК і ВМ перетинаються в точці О Довести що відрізки ОМ і ОК рівні.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Бічні сторони СА та СВ рівні, рівні СМ та СК отже

АВ||МК та АМ=ВК

Утворена рівнобічна трапеція АМКВ. А в рівнобічній трапеції діагоналі ділять одна одну на відрізки з попарно рівними довжинами; , AО= ОВ та МО= ОК.

Answer 2

Для доведення того, що відрізки ОМ і ОК рівні, ми можемо використовувати подібність трикутників і властивості рівнобедреного трикутника. Давайте подивимося на це крок за кроком.

1. Позначимо довжину сторони AB як a, а сторіну BC (і одночасно AC) як b.

2. За умовою, відрізок СМ дорівнює СК, тобто СМ = СК.

3. Розглянемо трикутники АСМ і ВСК. Вони подібні, оскільки мають спільну вершину С і обидва кути СМА і СКВ рівні, оскільки вони дорівнюють половині кута BAC.

4. З подібності трикутників ми можемо записати наступне відношення:

   AM / CK = AC / BC = b / a

5. Також, з подібності, відомо, що ОК / ОМ = CK / AM.

6. Тепер ми можемо об'єднати обидві рівності:

   ОК / ОМ = CK / AM = (1/2) * (b / a)

7. Ми знаємо, що CK = CM + MK, але так як СМ = СК, то CK = 2 * СМ = 2 * СК.

8. Поділімо обидві сторони цієї рівності на AM:

   CK / AM = 2 * СК / AM = 2 * СМ / AM

9. Враховуючи, що AM / CK = b / a (з кроку 4), отримаємо:

   2 * СМ / AM = (1/2) * (b / a)

10. Знову помножимо обидві сторони на ОМ:

    2 * СМ / AM * ОМ = (1/2) * (b / a) * ОМ

11. Зараз ми можемо спростити цю рівність:

    СМ / AM * ОМ = (1/2) * (b / a) * ОМ

12. Оскільки СМ = СК (з умови), ми можемо замінити СМ на СК:

    СК / AM * ОМ = (1/2) * (b / a) * ОМ

13. Зараз ми маємо:

    ОК / ОМ = (1/2) * (b / a) * ОМ

14. Поділимо обидві сторони на (1/2) * (b / a):

    ОК / ОМ = ОМ / (1/2) * (b / a)

15. Вираз на правій стороні цієї рівності можна спростити:

    ОК / ОМ = 2 * (a / b) * ОМ

16. Тепер ми бачимо, що маємо відношення між ОК і ОМ:

    ОК / ОМ = 2 * (a / b) * ОМ

17. Інтерпретуючи це відношення, ми бачимо, що ОК рівне ОМ удвічі:

    ОК = 2 * ОМ

Отже, доведено, що відрізки ОМ і ОК рівні, проте, спрощений варіант отриманий з врахуванням рівності СМ і СК.