Question

Четырёхугольник AMTP вписан в окружность. Расстояние между точками М и Р равно 10, РТ=24, МТ=26. а) Найдите косинус угла МАР. б) Найдите АМ, если синус угла МРА равен

Answer 1

Для сторон треугольника MPT выполняется теорема Пифагора

26^2 = 10^2 + 24^2

следовательно, ∠MPT=90, MT - диаметр.

То же самое по теореме косинусов:

cosMPT =(MP^2 +PT^2 -MT^2)/2MP*PT =(10^2 +24^2 -26^2)/2MP*PT =0 =>

∠MPT=90

a) ∠MAP=∠MTP (вписанные, опирающиеся на одну дугу) =>

cosMAP =cosMTP =PT/MT =12/13

б) теорема синусов для △MPA

2R =MT

AM/sinMPA =2R => AM =26*6/13 =12

Answer 2

Для решения этой задачи нам пригодится теорема косинусов. Давайте разберемся с этими данными:

AMTP - вписанный четырехугольник в окружность.

MT = 26, PT = 24, MP = 10.

Мы хотим найти косинус угла МАР и длину AM.

а) Косинус угла МАР можно найти с помощью теоремы косинусов. Эта теорема гласит:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

где A - угол напротив стороны a, а b и c - длины двух других сторон.

В нашем случае:

a = MP = 10, b = MT = 26, c = PT = 24.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

$\cos(MAR) = \frac{26^2 + 24^2 - 10^2}{2 \cdot 26 \cdot 24}$

$\cos(MAR) = \frac{676 + 576 - 100}{2 \cdot 26 \cdot 24}$

$\cos(MAR) = \frac{1152}{2 \cdot 26 \cdot 24}$

$\cos(MAR) = \frac{576}{26 \cdot 24}$

$\cos(MAR) = \frac{9}{13}$

б) Теперь, чтобы найти AM, нам нужно использовать синус угла МРА и теорему синусов. Теорема синусов гласит:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

где a, b и c - длины сторон треугольника, а A, B и C - противолежащие им углы.

В нашем случае:

Мы уже знаем, что $\sin(MAR) = \frac{9}{13}$.

Мы хотим найти AM, поэтому мы можем использовать следующую формулу:

$\frac{AM}{\sin(MRA)} = \frac{MP}{\sin(MAR)}$

Теперь подставляем известные значения:

$\frac{AM}{\sin(MRA)} = \frac{10}{\frac{9}{13}}$

$\frac{AM}{\sin(MRA)} = \frac{10 \cdot 13}{9}$

$AM = \frac{130}{9}$

Таким образом, AM = $\frac{130}{9}$.