Question

Помогите пожалуйста!!! Окружность с центром в точке О, вписанная в прямоугольный треугольник Abc касается катетов AC и Вс в точках Е и D соответственно, гипотенузы Ав - в точке G. Известно, что CE =3 AG = 6 Докажите, что прямая Ое проходит через точку К пересечения медиан треугольника АВС.

Answer 1

AE=AG =6 (отрезки касательных из одной точки)

OE⊥AC (радиус в точку касания) => OE||BC

Пусть OE пересекает медиану AM в точке T.

AT/TM =AE/EC =6/3 =2/1 (т. о пропорциональных отрезках)

AK/KM =2/1 (медианы точкой пересечения делятся 2:1 от вершины)

Следовательно точки T и K совпадают, то есть OE проходит через точку пересечения медиан.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

1. Первым шагом мы видим, что касательная к окружности в точке Е перпендикулярна радиусу ОЕ, так как они касаются в точке касания (теорема о касательных к окружности). Поэтому угол АОЕ прямой.

2. Далее, у нас есть информация о том, что CE = 3 и AG = 6. Так как ОЕ - радиус окружности, а АОЕ - прямой угол, то треугольник АОЕ и треугольник CEG подобны (по угловой стороне). Это означает, что соотношение сторон в этих треугольниках также одинаково.

3. Мы можем записать это соотношение сторон следующим образом: $\frac{CE}{OE} = \frac{EG}{AE}$.

   Подставив значения, получим: $\frac{3}{OE} = \frac{6}{AE}$.

4. Теперь нам нужно выразить AE через ОЕ. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABC: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

   Поскольку ABC - прямоугольный треугольник, где AC и BC - катеты, а AB - гипотенуза, то: $AE^2 = AC^2 + CE^2$.

   Подставим значение CE = 3: $AE^2 = AC^2 + 3^2$.

5. Мы также знаем, что AG = 6, и так как АОЕ - прямой угол, то АО - это половина гипотенузы АВ (половина от 2AG). Таким образом: $AO = \frac{1}{2} \cdot 2AG = AG$.

6. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABC, чтобы выразить AC через AG и BC: $AC^2 = AB^2 - BC^2$.

   Поскольку AB = 2AG и BC = CE, подставим значения: $AC^2 = (2AG)^2 - 3^2$.

7. Теперь у нас есть две формулы: одна для AE^2 и другая для AC^2. Оба выражения содержат AC, которая нам нужна для соотношения в шаге 3.

8. Решим эти два уравнения для AE^2 и AC^2: $AE^2 = AG^2 + 3^2$, $AC^2 = (2AG)^2 - 3^2$.

9. Теперь подставим полученные значения AE^2 и AC^2 в соотношение из шага 3: $\frac{3}{OE} = \frac{6}{\sqrt{AG^2 + 3^2}}$.

10. Упростим это выражение: $\frac{3}{OE} = \frac{6}{\sqrt{AG^2 + 9}}$.

11. Мы также знаем, что AG = AO = 6 (из шага 5). Подставим это значение: $\frac{3}{OE} = \frac{6}{\sqrt{6^2 + 9}}$.

12. Продолжим упрощение: $\frac{3}{OE} = \frac{6}{\sqrt{45}}$.

13. Далее, упростим корень из 45: $\frac{3}{OE} = \frac{6}{3\sqrt{5}}$.

14. Сократим обе стороны на 3: $\frac{1}{OE} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

15. Теперь возведем обе стороны в степень -1 (инверсия): $OE = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

16. Таким образом, мы определили длину отрезка OE. Теперь рассмотрим треугольник АОЕ. У нас есть длина OE и прямой угол в точке О. Поэтому мы можем использовать тригонометрическое соотношение для нахождения длины медианы ОК.

17. Медиана ОК будет равна половине длины АЕ. Из треугольника АОЕ: $\frac{OK}{OE} = \cos(\angle AOE)$.

18. Подставим значения: $\frac{OK}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \cos(90^\circ)$.

19. Так как $\cos(90^\circ) = 0$