Question

Помогите пожалуйста!!! Окружность с центром в точке О, вписанная в прямоугольный треугольник Abc касается катетов AC и Вс в точках Е и D соответственно, гипотенузы Ав - в точке G. Известно, что CE =3 AG = 6 Докажите, что прямая Ое проходит через точку К пересечения медиан треугольника АВС.

Answer 1

AE=AG =6 (отрезки касательных из одной точки)

OE⊥AC (радиус в точку касания) => OE||BC

Пусть OE пересекает медиану AM в точке T.

AT/TM =AE/EC =6/3 =2/1 (т. о пропорциональных отрезках)

AK/KM =2/1 (медианы точкой пересечения делятся 2:1 от вершины)

Следовательно точки T и K совпадают, то есть OE проходит через точку пересечения медиан.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения нам нужно показать, что прямая $OE$ проходит через точку $K$, которая является пересечением медиан треугольника $ABC$.

Для начала заметим, что так как $CE = 3$ и $AG = 6$, то $CG = GA - AC = 6 - 3 = 3$. Поскольку точка $G$ является серединой гипотенузы $AB$, то $GO = \frac{1}{2}AG = 3$ и $EO = EC - GO = 3 - 3 = 0$.

Из этого следует, что точка $E$ является точкой касания окружности с центром в точке $O$ и радиусом $0$, что означает, что точки $O$, $E$ и $K$ лежат на одной прямой.

Теперь нам нужно доказать, что прямая $OE$ также проходит через точку $K$, пересечение медиан треугольника $ABC$.

Чтобы это сделать, рассмотрим треугольник $ABC$ и его медианы. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести или точкой пересечения медиан. Обозначим точку пересечения медиан как $K$.

Теперь обратим внимание на медиану $BM$ треугольника $ABC$, где $M$ - середина стороны $AC$. Поскольку $E$ является точкой касания окружности вписанной в треугольник $ABC$ с катетом $AC$, а $M$ - середина, $EM$ будет являться радиусом окружности, проходящим через точки $E$ и $K$.

Так как точка $E$ является точкой касания окружности в треугольнике $ABC$, то радиус $EM$ окружности и отрезок $MC$ будут перпендикулярными в точке $M$.

Итак, у нас есть прямая $OE$, которая проходит через точку касания $E$ и середину $M$ гипотенузы $AC$ треугольника $ABC$. Так как $E$ является точкой касания окружности в треугольнике $ABC$, а $K$ - точкой пересечения медиан, то прямая $OE$ также проходит через точку $K$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $OE$ проходит через точку пересечения медиан треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.