Question

даны три некомпланарных вектора p(0;5;1) q(3;2;-1) r(-1 ;1 ;0) разложить вектор d(-15;5;6) по данным векторам

Answer 1

Объяснение:

Вектор d=a*p+b*q+c*r,  а,в,с-это коэффициенты разложения.Их ищемизсистемы.

Cистема ( незнаю как знак системы ставить)

-15=а*0+в*3+с*(-1),    (1)

5=а*5+в*2+с*1 ,        (2)

6=а*1+в*(-1)+с*0         (3).

Из (1) 3в-с=15 →с=3в-15

Из (3) а-в=6  → а=6+в

Во (2) все подставляки   5=(6+в)*5+в*2+(3в-15)*1 ,  

30+5в+2в+3в-15=5 , 10в=-10  , в=-1.

с=3*(-1)-15=-18

а=6+(-1)=5

Коэффициенты разложения  вектора d  по трем некомпланарным векторам :а=5,в=-1, с=-18.

Вектор d=5p-1q+18r

Answer 2

Для разложения вектора $\mathbf{d}$ по данным векторам $\mathbf{p}$, $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$, нужно найти коэффициенты $x$, $y$ и $z$ такие, что:

$$\mathbf{d} = x \cdot \mathbf{p} + y \cdot \mathbf{q} + z \cdot \mathbf{r}$$

Мы можем использовать метод Крамера для решения этой системы уравнений. Первым шагом является вычисление определителей.

1. Найдем определитель основной матрицы $D$:

$$D = \begin{vmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

$D = 0 + 15 + 1 - 0 - 10 - 3 = 3$

2. Заменим первый столбец матрицы на вектор $\mathbf{d}$:

$$D_x = \begin{vmatrix} -15 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

$D_x = -30 - 0 + 15 - 90 - 6 + 5 = -116$

3. Заменим второй столбец матрицы на вектор $\mathbf{d}$:

$$D_y = \begin{vmatrix} 0 & -15 & -1 \\ 5 & 5 & 1 \\ 1 & 6 & 0 \end{vmatrix}$$

$D_y = 0 - 75 + 5 - 0 - 6 + 75 = 9$

4. Заменим третий столбец матрицы на вектор $\mathbf{d}$:

$$D_z = \begin{vmatrix} 0 & 3 & -15 \\ 5 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix}$$

$D_z = 0 + 30 - 75 - 0 - 60 - 10 = -115$

Теперь, используя эти определители, мы можем найти коэффициенты $x$, $y$ и $z$:

$$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-116}{3} \approx -38.67$$

$$y = \frac{D_y}{D} = \frac{9}{3} = 3$$

$$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-115}{3} \approx -38.33$$

Итак, вектор $\mathbf{d}$ разложен по данным векторам $\mathbf{p}$, $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$ следующим образом:

$$\mathbf{d} \approx -38.67 \cdot \mathbf{p} + 3 \cdot \mathbf{q} - 38.33 \cdot \mathbf{r}$$