Question

Диагональ куба равна 10 см. Найдите косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Answer 1

Ответ:

Сторона- 10/√3

Cos< = √6/3

Объяснение:

Картинка

Answer 2

Чтобы найти косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами куба.

Для начала, давайте рассмотрим куб. Диагональ куба проходит через его центр и соединяет две противоположные вершины. Эта диагональ представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, где катеты равны длине ребра куба. Поскольку у нас нет конкретных значений длины ребра, мы можем предположить, что длина ребра куба равна 5 см (половина диагонали).

Теперь, чтобы найти косинус угла между этой диагональю и плоскостью одной из граней куба, мы можем воспользоваться следующей формулой для косинуса угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$

где $\vec{a}$ - вектор, соединяющий начало диагонали и точку на грани куба, а $\vec{b}$ - нормальный вектор к плоскости грани куба.

В данном случае, диагональ куба - это вектор $\vec{a}$, а плоскость одной из его граней - это плоскость, параллельная одной из координатных плоскостей (например, плоскость XY). Нормальный вектор к этой плоскости будет $\vec{b} = (0, 0, 1)$, так как он направлен вдоль оси Z.

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

Подставляя значения:

$|\vec{a}| = 5 \ \text{см}$ $|\vec{b}| = 1 \ \text{ (длина единичного вектора)}$

Мы хотим найти $\cos(\theta)$, поэтому:

$5 \cdot 1 \cdot \cos(\theta) = \vec{a} \cdot \vec{b}$

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{5}$

Теперь найдем $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 1 \cdot \cos(\theta)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5\cos(\theta)$

Теперь мы можем выразить $\cos(\theta)$:

$\cos(\theta) = \frac{5\cos(\theta)}{5}$

$\cos(\theta) = \cos(\theta)$

Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен 1.