Question

Геометрия за 10 класс (пожалуйста решите хоть некоторые номера)    1) Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.    2) Сторона АВ ромба АВСD равна а, один из углов ромба равен 60 градусов. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от точки D. а) Найдите расстояние от точки С до плоскости альфа б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, M принадлежит альфа   3) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.          

Answer 1

1)пусть ребро куба Х, тогда диагональ основания Х*корень из 2, тогда по т.Пифагора 3Х в квадрате=36, Х=2*корень из 2

 

Answer 2

а) По теореме Пифагора в кубе с диагональю d и ребром a выполняется: d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 Отсюда получаем, что a = d/√3 = 6/√3 = 2√3 см. б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен cos(45°), так как диагональ куба делит грань на две равные прямоугольные треугольники с углом 45 градусов. Значит, cos(45°) = 1/√2.

а) Рассмотрим треугольник ACD. Он равнобедренный, так как сторона AD = DC, угол ACD равен 60 градусов (как угол ромба), а значит, угол CAD равен 60/2 = 30 градусов. Тогда высота треугольника ACD, опущенная из вершины C на сторону AD, равна (a/2)sin(30°) = a/4. Так как треугольник ACD равнобедренный, то точка пересечения его высот и медиан, проходящей через вершину C, лежит на стороне AD и делит её пополам. Значит, расстояние от точки C до плоскости α равно a/4. б) Для начала нарисуем ромб АВСD и плоскость α, проходящую через АВ и находящуюся на расстоянии a/2 от точки D. Точка M - точка пересечения линии, параллельной СD, и плоскости α. Линия, проходящая через точки D и M, пересекает ребро AB в точке N. Угол DAB равен 60 градусов, так как один из углов ромба АВСD равен 60 градусов. Также, по построению, угол MND прямой. Значит, угол DNM - линейный угол двугранного угла DABM.

Ромб АВСD и плоскость α пересекаются по прямой СD, а значит, плоскости параллельны. Значит, синус угла между ними равен sin(0) = 0.