Question

Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен √35/6. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Answer 1

Ответ:

c = √21 см или c = √29 см

Задача имеет два решения.

Объяснение:

Зная синус угла треугольника найдем косинус этого угла:

$\sin\alpha =\dfrac{\sqrt{35}}{6}$

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

$\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$

$\cos^2\alpha =1-\dfrac{35}{36}=\dfrac{1}{36}$

$\cos\alpha =\dfrac{1}{6}$   или   $\cos\alpha = -\dfrac{1}{6}$

а = 3 см,  b = 4 см,  α - угол между этими сторонами.

с - искомая сторона.

Применим теорему косинусов для двух случаев.

1. α - острый угол.

$\cos\alpha =\dfrac{1}{6}$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\alpha$

$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \dfrac{1}{6}=9+16-4=21$

c = √21 см

2. α - тупой угол.

$\cos\alpha = -\dfrac{1}{6}$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\alpha$

$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \left(-\dfrac{1}{6}\right)=9+16+4=29$

c = √29 см

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать закон синусов, который гласит:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$

где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, а $A$, $B$ и $C$ - соответствующие им углы.

В данном случае у нас уже известны две стороны треугольника $a = 3$ см и $b = 4$ см, а также синус угла между ними $\sin C = \frac{\sqrt{35}}{6}$. Мы хотим найти третью сторону $c$ и угол $C$.

Давайте сначала найдем угол $C$. Для этого используем обратный синус:

$\sin C = \frac{\sqrt{35}}{6}$

$C = \arcsin\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)$

Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти третью сторону $c$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{c}{\frac{\sqrt{35}}{6}}$

Теперь найдем синусы углов $A$ и $B$. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то:

$A + B + C = 180^\circ$

Мы уже знаем $C$ (рассчитали его выше) и можем выразить $A$ или $B$:

$A + B + \arcsin\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right) = 180^\circ$

$A + B = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)$

Теперь, зная сумму углов $A$ и $B$, мы можем использовать закон синусов, чтобы найти $c$:

$\frac{3}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{c}{\frac{\sqrt{35}}{6}}$

Подставим выражение для $\sin A$ и $\sin B$ из суммы углов:

$\frac{3}{\sin (180^\circ - \arcsin(\frac{\sqrt{35}}{6}))} = \frac{4}{\sin \arcsin(\frac{\sqrt{35}}{6})} = \frac{c}{\frac{\sqrt{35}}{6}}$