Question

Прошу, помогите! 50 баллов! Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, AB и AD образуют угол в 60°, AB=7см, AD=15см, BC-CD=1. Найти длину диагонали BD и площади треугольников ABD и BCD.

Answer 1

...................................................

Answer 2

Давайте начнем с нахождения длины диагонали BD.

1. Длина диагонали BD:

Пусть точка O - центр вписанной окружности, а r - радиус этой окружности. Поскольку угол BAD равен 60°, угол в центре BOA равен 120°. Также угол BOD также равен 120° (так как это угол вписанной окружности, опирающийся на дугу BD).

Теперь у нас есть треугольник BOD с известными сторонами BO, OD и BD (BD - это 2r, так как BD проходит через центр окружности).

Используем закон косинусов для треугольника BOD: $BD^2 = BO^2 + OD^2 - 2 \times BO \times OD \times \cos(120°).$

Так как BO равно радиусу окружности (r), и OD равно разности BC и CD (BC-CD=1), мы можем подставить значения: $BD^2 = r^2 + (BC - CD)^2 - 2 \times r \times (BC - CD) \times \cos(120°).$

Теперь подставим известные значения: $AB = 7 \, \text{см}$, $AD = 15 \, \text{см}$, и $BC - CD = 1 \, \text{см}$. Также мы знаем, что угол 120° в радианах равен $\frac{2\pi}{3}$, и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$BD^2 = r^2 + (1 \, \text{см})^2 - 2 \times r \times 1 \, \text{см} \times \left(-\frac{1}{2}\right).$

Теперь у нас есть уравнение, в котором известна только r (радиус). Решим его.

2. Решение уравнения для r:

$BD^2 = r^2 + 1 - r = r^2 - r + 1.$

Так как у нас есть уравнение с одной переменной, мы можем его решить, приравняв $BD^2$ к $r^2 - r + 1$:

$BD^2 = r^2 - r + 1.$

Теперь мы можем найти $r$, подставив $AB$ и $AD$ в исходные данные: $AB = 7 \, \text{см}$ и $AD = 15 \, \text{см}$.

$AB = 2r \times \sin(30°),$ $15 \, \text{см} = 2r \times \frac{1}{2},$ $r = \frac{15 \, \text{см}}{2} = 7.5 \, \text{см}.$

3. Вычисление $BD$:

Теперь подставим $r$ в уравнение для $BD^2$: $BD^2 = (7.5 \, \text{см})^2 - 7.5 \, \text{см} + 1 = 56.25 \, \text{см}^2.$

Следовательно, $BD = \sqrt{56.25} \approx 7.5 \, \text{см}$ (положительный корень, так как длина не может быть отрицательной).

4. Нахождение площади треугольников:

Теперь, когда у нас есть $BD$, мы можем найти площади треугольников ABD и BCD, используя формулу для площади треугольника по длинам сторон и углу между ними:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(\angle BAD),$

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD \times \sin(\angle BCD).$

Теперь подставим известные значения: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \times 7 \, \text{см} \times 15 \, \text{см} \times \sin(60°),$ $S_{BCD} = \frac{1}{2} \times (BC + CD) \times CD \times \sin(120°).$