Question

(Даю 100 баллов за полное решение) Основание пирамиды - квадрат. Две боковые смежные грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к ней под углом альфа. Равные боковые ребра пирамиды равны b. Найти объем пирамиды. Решите пожалуйста с чертежем и обьяснением.

Answer 1

Грани SBC и SDC перпендикулярны основанию, тогда их общая прямая SC является перпендикуляром к основанию.

SC⊥(ABC), CB⊥AB (угол квадрата) => SB⊥AB (т о трех перпендикулярах)

Тогда SBC =a (угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой)

BC =b cosa

SC =b sina (высота пирамиды)

S(ABCD) =BC^2

V =1/3 S(ABCD) SC =1/3 b^3 cosa^2 sina

Answer 2

Чтобы найти объем пирамиды с квадратным основанием и заданными характеристиками, давайте воспользуемся геометрическими свойствами пирамиды.

Давайте начнем с построения пирамиды с квадратным основанием и заданными углами. Вот как это может выглядеть:

cssCopy code
        A
       /|\
      / | \
     /  |  \
    /___|___\
   B    C    D

Где A - вершина пирамиды, а B, C, D - вершины основания квадрата. Две боковые смежные грани перпендикулярны основанию (BC и CD), а две другие наклонены к нему под углом α (AB и AD).

Мы знаем, что все четыре боковых треугольника в пирамиде равнобедренные. Теперь давайте обозначим длину основания квадрата как "b" и длину бокового ребра пирамиды (например, AB) как "a."

Давайте рассмотрим один из этих равнобедренных треугольников, например, треугольник ABC:

cssCopy code
        A
       /|\
      / | \
     /  |  \
    /___|___\
   B    C    D

Мы видим, что у треугольника ABC две равные стороны AB и BC, и угол между ними α.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны AB:

cos(α) = BC / AB

AB = BC / cos(α)

AB = b / cos(α)

Теперь у нас есть длина стороны AB, которую мы обозначили как "a." Теперь мы можем найти объем пирамиды.

Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

V = (1/3) * S * h

где: V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды (S) равна площади квадрата, то есть S = b^2.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (h). Мы можем использовать треугольник ABC для этого. Высота пирамиды (h) является высотой этого треугольника, которую мы можем найти, используя теорему Пифагора:

h^2 = AB^2 - BC^2

h^2 = (b / cos(α))^2 - (b/2)^2

h^2 = b^2 / cos^2(α) - b^2 / 4

h^2 = b^2 * (1 / cos^2(α) - 1 / 4)

h = b * sqrt(1 / cos^2(α) - 1 / 4)

Теперь у нас есть S и h, и мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * (b^2) * (b * sqrt(1 / cos^2(α) - 1 / 4))

V = (b^3 / 3) * sqrt(1 / cos^2(α) - 1 / 4)

Это и есть объем пирамиды с заданными характеристиками.