Question

зобразіть у системі координат площину яка проходить через точки а(0.0.4) ,в(0.4.0) і с (4.0.0) під якими кутами цієї площини нахилені осі координат?

Answer 1

Эту задачу можно решить двумя способами.

1) Геометрический.

Так как плоскость отсекает на осях равные отрезки, то углы между осями и плоскостью равны.

Для примера возьмём угол к оси Oz.

Угол между прямой и плоскостью равен плоскому углу между этой прямой и её проекцией на плоскость.

Проекция оси Oz на плоскость лежит на прямой АД.

ОД = 4*cos 45 = 4*(√2/2) = 2√2.

Угол α = arc tg (2√2/4) = arc tg(√2/2) = 35,264 градуса.

2) Векторный.

Уравнение плоскости "в отрезках" (x/4) + (y/4) + (z/4) = 1.

В общем виде x + y + z - 4 = 0.

Направляющий вектор плоскости N = (1; 1; 1), его модуль равен √3.

Косинус угла между направляющим вектором плоскости  и осью Oz равен: cos β = 1/√3. Сам угол равен arc cos(1/√3) = 54,7356 градуса.

Угол между нормалью к плоскости (прямой ее содержащей) и осями в сумме с искомым углом  дают  90 градусов.

Тогда α = 90 - β = 90 - 54,7356 = 35,2644 градуса.

Answer 2

Щоб зобразити площину, проходячи через три точки $A(0,0,4)$, $B(0,4,0)$ і $C(4,0,0)$, спершу ми можемо знайти вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0,4,0) - (0,0,4) = (0,4,-4)$ $\overrightarrow{AC} = C - A = (4,0,0) - (0,0,4) = (4,0,-4)$

Тепер векторний добуток цих векторів дає вектор, який нормаль до площини.

$\overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 4 & -4 \\ 4 & 0 & -4 \end{vmatrix} \] \[ \overrightarrow{N} = \mathbf{i}(16) - \mathbf{j}(16) + \mathbf{k}(16) \] \[ \overrightarrow{N} = (16, -16, 16) \] Тепер, ми можемо записати рівняння площини вигляду \( Ax + By + Cz = D \), використовуючи координати точок і знайдений вектор нормалі \( \overrightarrow{N} \). \[ 16x - 16y + 16z = D \] Щоб знайти конкретне значення \( D \), можна використати будь-яку з трьох точок, наприклад, точку \( A(0,0,4) \). \[ 16(0) - 16(0) + 16(4) = D \] \[ D = 64 \] Отже, рівняння площини: \[ 16x - 16y + 16z = 64 \] Тепер ми можемо визначити кути між цією площиною та осями координат. Кут між площиною і координатною віссю \( Ox \) буде кутом між вектором нормалі \( \overrightarrow{N} \) та вектором \( \overrightarrow{i} \). \[ \cos(\theta_x) = \frac{\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{i}}{\|\overrightarrow{N}\| \cdot \|\overrightarrow{i}\|} \] \[ \cos(\theta_x) = \frac{(16)(1) + (-16)(0) + (16)(0)}{\sqrt{16^2 + (-16)^2 + 16^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} \] \[ \cos(\theta_x) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \] \[ \theta_x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \] Аналогічно, кути між площиною і координатними віссю \( Oy \) та \( Oz \) будуть також дорівнювати \( 60^\circ \). Отже, ця площина нахилені під кутом \( 60^\circ \) до кожної з координатних вісей.