Question

В остроугольном треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка H — ортоцентр, точка X — середина отрезка AH, точка M — середина стороны BC. Известно, что OM=4, ∠A=60∘. Чему равна длина отрезка MX?

Answer 1

Tочка H1, симметричная ортоцентру относительно середины стороны BC, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине A.

M - середина HH1, MX - средняя линия в △AHH1, MX=AH1/2

(отрезок MX равен радиусу описанной окружности)

Радиус OP, перпендикулярный хорде BC, делит дугу BC пополам, ∠BOP=∠A=60

△BOP - равносторонний, BM - высота и медиана, OP=2OM =8

MX=OP=8

Answer 2

Используем известные факты о треугольниках, в частности, о треугольнике с углом 60 градусов.

Известно, что в остроугольном треугольнике ортоцентр (точка H) является пересечением высот треугольника, а точка M — середина стороны BC. Также известно, что точка X — середина отрезка AH.

Теперь мы знаем, что $OM=4$, и у нас есть следующая конфигурация треугольника ABC:

• $OM$ — медиана, проходящая через центр $O$ и перпендикулярная к стороне $BC$,
• $HX$ — медиана, проходящая через ортоцентр $H$ и перпендикулярная к стороне $BC$.

Так как $X$ — середина отрезка $AH$, $HX = \frac{1}{2} \cdot AH$. Так как $M$ — середина стороны $BC$, $OM = \frac{1}{2} \cdot BC$.

Так как угол $A$ равен 60 градусам, треугольник $ABC$ — равносторонний. Таким образом, длина стороны $BC$ равна длине стороны $AC$, и равна $2 \cdot OM = 8$.

Теперь мы можем выразить $AH$ через длину стороны треугольника: $AH = 2 \cdot HX = 2 \cdot OM = 8$.

Таким образом, $HX = 4$.

Наконец, длина отрезка $MX$ равна половине длины $HX$, то есть $MX = \frac{1}{2} \cdot HX = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. Таким образом, длина отрезка $MX$ равна $2$.