Question

Большее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагонали делятся точкой пересечения в отношении 3:13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 24 см.​

Answer 1

△BOC~△AOD (по накрест лежащим при BC||AD)

BC/AD =BO/OD =3/13

BC=3x, AD=AB=13x

Опустим высоты BB1 и CC1

BB1C1C - прямоугольник => B1C1=BC=3x

△ABB1=△DCC1 (по катету и гипотенузе) => AB1=DC1 =(13x-3x)/2 =5x

BB1 =√(AB^2-AB1^2) =12x

BB1 =12x =24 => x=2

AD+BC =13x+3x =16x

S(ABCD) =1/2 (AD+BC)*BB1 =1/2 *16*2*24 =384 (см^2)

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть "a" - длина большего основания трапеции. Пусть "b" - длина боковой стороны трапеции. Пусть "h" - высота трапеции (в данном случае, h = 24 см).

Из условия известно, что диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении 3:13. Это означает, что отношение длин диагоналей равно 3:13.

Давайте обозначим длину меньшей диагонали как "d1" и длину большей диагонали как "d2".

Мы знаем, что:

d1/d2 = 3/13

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников, образованных диагоналями и половиной боковой стороны трапеции:

d1^2 = (b/2)^2 + h^2

d2^2 = (a + b/2)^2 + h^2

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала выразим "a" через "b" из первого уравнения:

d1/d2 = 3/13

(1/2 * b)^2 + h^2 = d1^2

(1/2 * b)^2 = d1^2 - h^2

b^2/4 = d1^2 - h^2

b^2 = 4 * (d1^2 - h^2)

b = 2 * sqrt(d1^2 - h^2)

Теперь подставим это значение "b" во второе уравнение:

d2^2 = (a + b/2)^2 + h^2

d2^2 = (a + (2 * sqrt(d1^2 - h^2))/2)^2 + h^2

d2^2 = (a + sqrt(d1^2 - h^2))^2 + h^2

a + sqrt(d1^2 - h^2) = sqrt(d2^2 - h^2)

a = sqrt(d2^2 - h^2) - sqrt(d1^2 - h^2)

Теперь у нас есть выражения для "a" и "b" через длины диагоналей и высоту трапеции. Мы также знаем, что большее основание равно боковой стороне, поэтому:

a = b

Теперь мы можем приравнять эти два выражения:

sqrt(d2^2 - h^2) - sqrt(d1^2 - h^2) = 2 * sqrt(d1^2 - h^2)

Теперь можно решить это уравнение для "d1" и "d2". Как только у нас будут значения диагоналей, мы сможем найти площадь трапеции с использованием формулы:

Площадь трапеции = (1/2) * (сумма оснований) * высота

Площадь трапеции = (1/2) * (a + b) * h

Пожалуйста, решите уравнение для "d1" и "d2", а затем вычислите площадь трапеции.