Question

В равнобедреном треугольнике ABC проведена высота к основанию AC , длина основания равна 42см , ∡CBD=44°. Определите длину отрезка AD и величину углов ∡ABD и ∡ABC. AD= см ∡ABD = ° ∡ABC = °

Answer 1

Ответ:

Дано:

Треугольник АВС-равнобедренный

АС=36 см. - основание

BD - высота

<CBD=40°

Найти: CD=?, <ABD=? , <ABC=?

Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой:

BD- высота, медиана и биссектриса.

CD=AC:2=36:2=18 см.

<ABD=<CBD=40°

<ABC=2×40°=80°

Ответ: CD=18 см., <ABD=40°, <ABC=80°

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства равнобедренных треугольников и правильных треугольников. Давайте начнем с определения длины отрезка AD.

1. Разделим треугольник ABC пополам, проведя медиану из вершины B к основанию AC. Обозначим середину отрезка AC как точку M. Так как треугольник ABC равнобедренный, AM будет также высотой треугольника, и BM будет медианой.

2. Так как треугольник ABC равнобедренный, у нас есть угол ABC = угол ACB, и обозначим его как α.

3. Также, угол AMB = 90°, так как это прямой угол между медианой и основанием.

4. У нас есть угол CBD = 44°.

5. Теперь мы можем рассмотреть треугольник CBD. В нем у нас есть два угла (BCD и CBD) и одна сторона (BC), поэтому мы можем использовать закон синусов для вычисления длины BD:

   BD / sin(44°) = BC / sin(α)

6. Мы знаем, что BC = 42 см (длина основания), и sin(α) = sin(ABC) = sin(ACB) = (1/2) sin(∠ACB), так как треугольник ABC равнобедренный. Теперь давайте найдем sin(∠ACB):

   sin(∠ACB) = sin(180° - 2α) = sin(2α)

   Мы используем удвоенный угол:

   sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

   Так как sin(α) = sin(ABC) = sin(ACB), то у нас будет:

   sin(2α) = 2sin(α)cos(α) = 2(1/2)sin(α)cos(α) = sin(α)cos(α)

   Теперь мы можем выразить sin(α) через sin(2α):

   sin(α) = sin(2α) / (2cos(α))

7. Теперь мы можем вернуться к уравнению закона синусов и выразить длину BD:

   BD / sin(44°) = 42 / (sin(2α) / (2cos(α)))

   BD = 42 * sin(44°) * 2cos(α) / sin(2α)

8. Теперь, чтобы найти длину AD, нам нужно вычесть BD из AM, так как AM = AC / 2:

   AD = AM - BD

9. Теперь мы можем найти угол ABD, используя тригонометрические функции в треугольнике ABD:

   tan(∠ABD) = BD / AM

10. Также, чтобы найти угол ABC, мы можем использовать тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠ABC = 180° - ∠ACB

Теперь давайте рассчитаем все эти значения с использованием известных данных:

Угол α (ABC или ACB) можно найти, используя тригонометрический синус:

sin(α) = sin(2α) / (2cos(α))

sin(2α) = sin(2 * 44°) = sin(88°)

cos(α) = cos(44°)

sin(α) = sin(88°) / (2cos(44°)) ≈ 0.982

α ≈ arcsin(0.982) ≈ 78.5°

Теперь найдем длину BD, используя закон синусов:

BD = (42 * sin(44°) * 2cos(α)) / sin(2α)

BD ≈ (42 * 0.6947 * 2 * 0.214) / 0.9995 ≈ 18.87 см

Теперь найдем длину AD:

AM = AC / 2 = 42 / 2 = 21 см

AD = AM - BD ≈ 21 - 18.87 ≈ 2.13 см

Теперь найдем угол ABD, используя тангенс:

tan(∠ABD) = BD / AM ≈ 18.87 / 21 ≈ 0.8995

∠ABD ≈ arctan(0.8995) ≈ 42.6°

И, наконец, найдем угол ABC:

∠ABC = 180° - ∠ACB ≈ 180° - 2 * 78.5° ≈ 23°

Итак, результаты:

AD ≈ 2.13 см ∠ABD ≈ 42.6° ∠ABC ≈ 23°