Question

Помогите пожалуйста У Кута АВС медіана АМ перпендикулярна до бісектриси ВК. Знайдіть ВС, якщо AB = 10 см.​

Answer 1

Відповідь: 20 см

Пояснення: фото

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми використаємо властивість медіани та бісектриси у трикутнику.

1. Властивість медіани: Медіана поділяє протилежну сторону на дві рівні частини.

2. Властивість бісектриси: Бісектриса поділяє протилежний кут на два рівні кути.

Особливість цього задачі полягає в тому, що медіана AM є перпендикулярною до бісектриси ВК. Отже, утворений прямий кут між медіаною і бісектрисою дозволяє нам використовувати певні трикутники та їх подібність.

Позначимо довжину ВС як $x$. Оскільки медіана поділяє сторону ВК у відношенні 1:1, то можна сказати, що МК = КС = $x$.

Також, оскільки АМ є медіаною, то МА = $\frac{1}{2}$ AB = 5 см.

Ми маємо тепер трикутник АМВ, де МА = 5 см, МК = КС = $x$, і кут АМВ прямий. Також, ми знаємо, що бісектриса ВК є перпендикулярною до АМ, отже, утворює прямий кут з АМ.

Це дозволяє нам сформулювати спільну подібність між трикутниками АМВ і ВКМ. Застосуємо ту саму коефіцієнт подібності для обчислення ВС.

$$\frac{MA}{VK} = \frac{AMV}{KVM}$$

Підставимо відомі значення:

$$\frac{5}{x} = \frac{AMV}{x}$$

Розглянемо трикутники AMV та KVM. Оскільки кут AMV є прямим, то ми можемо використати теорему Піфагора для трикутника AMV:

$$AV^2 = AM^2 + MV^2$$

$$AV^2 = 5^2 + x^2$$

Аналогічно для трикутника KVM:

$$KV^2 = KM^2 + VM^2$$

$$KV^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$$

Оскільки ВК = 2KV (з властивості медіани), то $2KV = 2\sqrt{2x^2}$. Тепер підставимо це в рівняння відношення подібності:

$$\frac{5}{x} = \frac{\sqrt{AV^2}}{2\sqrt{2x^2}}$$

Розв'яжемо це рівняння для $x$:

$$5 = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{2\sqrt{2}x}$$

Помножимо обидві сторони на $2\sqrt{2}x$:

$$10\sqrt{2}x = \sqrt{25 + x^2}$$

Піднесемо обидві сторони до квадрату:

$$(10\sqrt{2}x)^2 = (25 + x^2)$$

Розкриємо дужки та спростимо:

$$200x^2 = 25 + x^2$$

Перенесемо все на одну сторону та отримаємо квадратне рівняння:

$$199x^2 = 25$$

Отже,

$$x^2 = \frac{25}{199}$$

Тепер знайдемо значення $x$:

$$x = \sqrt{\frac{25}{199}} \approx 0.2238 \text{ см}$$

Отже, довжина ВС (або МК або КС) дорівнює $x \approx 0.2238 \times 2 \approx 0.4476$ см.