Question

Рассматривается правильная четырёхугольная призма   АВСDA1B1C1D1. М – середина ребра AD а)  Изобразите на чертеже рассматриваемую призму  и данную точку М. б)   Пусть плоскость  A B1C1D наклонена к плоскости основания под углом 600. Выразите высоту АА1призмы через ребро основания. в) Приведите три примера такого расположения точки К грани А1АВ1В при котором  прямые МК и B1 D не являются скрещивающимися. г)   Пусть плоскость  AB1 C1D наклонена к плоскости основания под углом 600, ребро основания равно 5. Найдите площадь полной поверхности призмы.  

Answer 1

Решение:

а) М ∈ AD, АМ=МD (см. рисунок)

б) Пусть AD=DC=а ( ребро основания )

   CD⊥AD ( по условию; в основании квадрат )

По теореме о 3ˣ ⊥ прямая AD ⊥ к проекции DC, будет ⊥ к наклонной CD, т.е ∠С₁DC - двугранный угол между плоскостями A₁BC₁D и ABCD, т.е ∠С₁DC = 60°

Р/м Δ DC₁C: ∠С=90°, то СС₁ / СD = tg60°

CC₁=AA₁=H ( высота )

АА₁ / а = √3

АА₁ = a√3

в) 1. МК₁║В₁D ;  К∈А₁АВ₁В

   2. На прямой ВВ₁ возьмём К₂=В₁ , то прямые МК₂ ∩ В₁D = К₂

г)  H=АА₁=а√3=5√3 ( высота )

Sосн=Sabcd=a²=25 - площадь основания

Sбок=Pосн * H = 4*5*5√3=100√3

Sполн=2Sосн+Sбок=2*25+100√3=50+100√3=50(1+2√3)

Answer 2

а) Чтобы изобразить рассматриваемую призму и точку М, предлагаю вам визуально представить призму следующим образом:

cssCopy code
       B1-----------A1
       |\          | \
       | \         |  \
       |  \        |   \
       |   \       |    \
       |    \      |     \
       |     \     |      \
       |      \    |       \
       |       \   |        \
       |        \  |         \
       |         \ |          \
       D1---------C1-----------A
       |          | |          |
       |          | |          |
       |          | |          |
       |          | |          |
       D----------C B----------A

Точка М - середина ребра AD.

б) Угол наклона плоскости ABC1D к плоскости основания равен 60 градусам. Ребро основания будем обозначать как AB. Пусть h - высота призмы AA1. Так как М - середина ребра AD, то высота призмы разделится пополам на два треугольника: A1MA и A1MB. Треугольник A1MA является равносторонним, так как плоскость ABC1D наклонена под углом 60 градусов к плоскости основания. Значит, угол MAA1 равен 60 градусов, и треугольник A1MA - равносторонний.

Для треугольника A1MB справедливо следующее соотношение: sin(60 градусов) = h / AB, √3/2 = h / AB.

Отсюда мы можем выразить высоту h: h = (√3/2) * AB.

в) Для того чтобы прямые MK и B1D не являлись скрещивающимися, точка K должна находиться вне плоскости ABC1D. Например, три примера расположения точки K:

1. K находится вне плоскости ABC1D, но на прямой, параллельной плоскости ABC1D.

2. K находится вне плоскости ABC1D, но на прямой, перпендикулярной плоскости ABC1D.

3. K находится вне плоскости ABC1D, и прямая MK параллельна одной из граней призмы, но не совпадает с ребром B1D.

г) Если угол наклона плоскости ABC1D к плоскости основания составляет 60 градусов, а длина ребра основания AB равна 5, то площадь полной поверхности призмы можно найти следующим образом:

1. Площадь боковой поверхности призмы: Это площадь четырех равных равнобедренных треугольников ABC, BCD, A1C1B1 и D1A1C1. Площадь каждого из них можно найти как (1/2) * сторона * сторона * sin(60 градусов). Поскольку сторона AB равна 5, площадь одного из треугольников равна (1/2) * 5 * 5 * (√3/2).

2. Площадь верхней и нижней оснований призмы: Это два квадрата, каждый из которых со стороной 5. Площадь одного квадрата равна 5 * 5.

Итак, общая площадь поверхности призмы равна: 4 * [(1/2) * 5 * 5 * (√3/2)] + 2 * (5 * 5).

Вычислите это выражение, чтобы получить площадь полной поверхности призмы.