Question

В равнобедренной трапеции ABCD угол ACD=90° угол ABC=120° радиус описанной окружности равен 8. Найти периметр ABCD.

Answer 1

Ответ:

$P_{ABCD}= 40$

Объяснение:

Дано:

АВСD - трапеция: AB = CD

∠ACD = 90°

∠ABC = 120°

R = 8

Найти:

$P_{ABCD}$ - периметр трапеции

Решение:

Вписанный угол ACD равен 90°, следовательно, он опирается на диаметр, которым и является большее основание трапеции

AD = 2R = 16

Около  четырёхугольника можно описать окружность, если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°. Следовательно, угол ADC, противоположный углу ABC равен

∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°

В прямоугольном треугольнике ACD c гипотенузой AD = 16:  ∠ ACD = 90° (дано), ∠ADC = 60° (получено), найдём CD и ∠СAD,

CD = AD · сos 60° = 16 · 0.5 = 8

и

∠СAD = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°

Трапеция равнобедренная, значит

АВ = CD - 8

Найдём ВС - меньшее основание трапеции  

Трапеция равнобедренная, следовательно

∠BCD = ∠ABC = 120°

и

∠BAD = ∠ADC = 60°

В треугольнике АВС

∠ВСА = ∠BCD - ∠ACD = 120° - 90° = 30°

∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°

Cледовательно, ΔАВС - равнобедренный

ВС  = АВ = 8

Периметр трапеции равен

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 16 = 40$

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится знание свойств равнобедренных трапеций и связей между углами и сторонами в описанной окружности.

В данной задаче у нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где угол ACD = 90° и угол ABC = 120°. Так как это равнобедренная трапеция, то AB = CD.

Обозначим длину оснований трапеции (AB и CD) как x, а высоту трапеции (проекцию точки B на основание CD) как h.

Известно, что угол ABC = 120°, и это угол внутри треугольника ABC. Разделим его на два угла: угол BAC и угол BCA. Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, угол BAC = (180° - 120°) / 2 = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Угол ACD = 90°, угол CAD = 30° (как половина угла BAC), и угол ADC = 180° - (90° + 30°) = 60°.

Мы знаем, что радиус описанной окружности равен 8. Для треугольника ACD можно воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ADC)}$

где AC - сторона треугольника ACD, а R - радиус описанной окружности.

AC равно половине основания трапеции (x/2), и мы знаем, что $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$8 = \frac{x/2}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Решая это уравнение, получаем:

$x = 16/\sqrt{3}$

Теперь можем найти высоту трапеции, используя тот факт, что угол BAC = 30°:

$h = x \tan(30°) = \frac{16}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3}$

Теперь можем найти периметр трапеции:

$P = AB + BC + CD + DA = x + 2 \times BC + x = 2x + 2 \times BC = \frac{32}{\sqrt{3}} + 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32 + 32}{\sqrt{3}} = \frac{64}{\sqrt{3}}$

Если нужно, можем упростить в выражении, умножив верхнюю и нижнюю части на $\sqrt{3}$:

$P = \frac{64}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$