Question

В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 6 провели медиану и высоту из вершины прямого угла. Чему равно произведение их длин?

Answer 1

Ответ 9

На фото объяснение

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник следующим образом:

• Пусть катеты равны $a = 3$ и $b = 6$.
• Пусть $c$ - гипотенуза.
• Пусть $m$ - медиана, проведенная к гипотенузе.
• Пусть $h$ - высота, проведенная из вершины прямого угла.

Мы можем использовать следующие формулы:

1. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике равна половине длины гипотенузы:

$$m = \frac{c}{2}$$

2. Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению катета, к которому проведена высота, на катет, не примыкающий к ней, и деленному на длину гипотенузы:

$$h = \frac{ab}{c}$$

Теперь найдем длину гипотенузы $c$ с использованием теоремы Пифагора:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

Теперь мы можем найти длину медианы $m$:

$$m = \frac{c}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$$

И длину высоты $h$:

$$h = \frac{ab}{c} = \frac{3 \cdot 6}{3\sqrt{5}} = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$$

Наконец, произведение длин медианы и высоты:

$$m \cdot h = \left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{6\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{9 \cdot 6 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{10} = \frac{270}{10} = 27$$

Итак, произведение длин медианы и высоты равно 27.