Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр AB большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке C, отличной от K. Лучи KO и KC вторично пересекают большую окружность в точках D и E соответственно. Точка B лежит на дуге EK большей окружности, не содержащей точку D. а) Докажите, что прямые DE и AB параллельны. б) Известно, что sin ∠KOB = . Прямые ДВ и ЕК пересекаются в точке L. Найдите отношение EL : LK.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

∠DEK  опирается на диаметр DK большой окружности.

∠ОВК опирается на диаметр ОК малой  окружности.

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. Следовательно,

∠DEK = ∠ОВК  = 90°. Из этого следует, что

DE ⊥EK и АВ ⊥ЕК.  

Теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Значит, DE ║ АВ, ч.т.д.

б) Так как DE ║ АВ, то ∠ВОК = ∠ЕDК как соответственные.

Диаметр АВ ⊥ЕК.   Если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через её середину, т.е.

ЕС = СК  и т. В - середина дуги ЕК  и, следовательно,

DB - биссектриса ∠EDK прямоугольного ΔDEK.

Теорема: Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон, т.е.

ЕL : LK = DE : DK =   cos(∠KDE) =  cos(∠KOB) = √(1 - sin²(∠KOB) =

= √1 -7/16 = √9/16 = 3/4

Answer 2

а) Докажем, что прямые DE и AB параллельны.

Обозначим центры большей и меньшей окружностей как O1 и O2 соответственно. Поскольку меньшая окружность проходит через центр O1 большей окружности, то O1, O2 и K лежат на одной прямой. Теперь рассмотрим треугольники KDO2 и KO1E.

1. Угол KDO2 равен углу KO1E, так как они соответственно вертикальные углы (они оба равны углу между радиусами окружностей в точке касания).

2. Угол KOD равен углу KOE, так как оба эти угла равны углу между радиусом и касательной в точке касания окружности.

3. Угол O1KO1 равен углу O2KO2, так как они оба прямые углы (180 градусов).

Из этих трёх фактов следует, что треугольники KDO2 и KO1E подобны (по углам). Поэтому соответствующие стороны DE и AB также параллельны.

б) Теперь давайте рассмотрим треугольник KEL. Мы уже установили, что угол KEO1 равен углу KEO2. Так как EK - общая сторона, то по угловой части треугольника KEL (по теореме синусов):

sin ∠KEL / KE = sin ∠KEO1 / KO1E.

Так как углы ∠KEO1 и ∠KEO2 равны, а отношение KE/KO1E равно 1/2 (так как точка B лежит на дуге EK, не содержащей точку D), то:

sin ∠KEL = 1/2 * sin ∠KOB.

Теперь мы знаем sin ∠KOB, которое равно sin(60°) = √3/2 (поскольку sin(60°) = √3/2). Теперь мы можем вычислить sin ∠KEL:

sin ∠KEL = 1/2 * √3/2 = √3/4.

Теперь мы можем использовать теорему синусов для треугольника KEL:

sin ∠KEL / KL = sin ∠KLE / KE.

sin ∠KEL / KL = sin(60°) / KE.

KL/KE = √3/4.

Теперь найдем отношение EL : LK:

EL : LK = KE - KL : KL = KE : KL - 1 : 1 = 1/(KL/KE) - 1 : 1 = 1/((√3/4) - 1) : 1 = 4/√3 - 4 : 1 = (4 - 4√3) : 1.

Таким образом, отношение EL : LK равно (4 - 4√3) : 1.