Question

Угол между двумя боковыми ребрами правильной треугольной пирамиды равен 120°, а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен 8√3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Ответ:      S б = 18 кв. од .

Объяснение:

Нехай ΔАМВ - бічна грань тіраміди  і  АМ = L ,  ∠AMB = 120° ;

MN ⊥AB ,  MN - апофема . ∠AMN = 1/2 *120° = 60° ,  тому ∠MAN = 30° .

Звідси  MN = 1/2 AM = 1/2 L . Із прямок. ΔAMN    AN = √ ( AM² - MN²) =

= √ [ L² - ( L/2 )²] = L√3/2  ;   AN = L√3/2  ;  AB = 2* AN = L√3 ;  AB = L√3 .

S б = 1/2 P ос * MN ;   S б = 1/2 * 3 *L√3 * 1/2 L = 3√3 L/4 .   Із ΔАМВ  

за теоремою синусів AB/sin120° = 2R ; R = AB/2sin120° = L√3/(2√3/2) = L .

За умовою R = 8√3 , тому L = R = 8√3 . Тепер вже обчислимо S б :

S б =  3√3 L/4 =  3√3 * 8√3/4 = 18 ( кв. од .) .

Answer 2

Давайте обозначим через $R$ радиус описанной около боковой грани окружности правильной треугольной пирамиды. Также пусть $AB$ и $AC$ будут боковыми рёбрами пирамиды, а $O$ — центр окружности, описанной вокруг боковой грани. У нас есть следующая информация:

1. Угол между боковыми рёбрами $\angle BAC = 120^\circ$.
2. Радиус описанной около боковой грани окружности $R = 8\sqrt{3}$.

В треугольнике $ABC$, используя закон косинусов, мы можем выразить длины сторон через радиус $R$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Поскольку это правильная треугольная пирамида, то $AB = AC$, и у нас остаётся:

$BC^2 = 2 \cdot AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \cos(120^\circ)$

$BC^2 = 2 \cdot AB^2 + AB^2$

$BC^2 = 3 \cdot AB^2$

$AB = \frac{BC}{\sqrt{3}}$

Теперь у нас есть выражение для длины бокового ребра $AB$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{\text{бок}}$ можно найти, используя формулу для площади треугольника:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр} \cdot \text{высота}$

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:

$P = AB + AC + BC$

$P = AB + AB + \sqrt{3} \cdot AB$

$P = 2 \cdot AB + \sqrt{3} \cdot AB$

$P = (2 + \sqrt{3}) \cdot AB$

Теперь мы можем выразить высоту пирамиды $h$ через радиус окружности $R$ и длину бокового ребра $AB$:

$h = \sqrt{AB^2 - R^2}$

$h = \sqrt{\left(\frac{BC}{\sqrt{3}}\right)^2 - R^2}$

$h = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot BC^2 - R^2}$

$h = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot AB^2 - R^2}$

$h = \sqrt{AB^2 - R^2}$

Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h$