Question

В параллелограмме ABCD (BC||AD) точка M делит диагональ AC в отношении 2:3 (3АМ=2МС). Найдите отношение площади треугольника AMD и площади параллелограмма ABCD

Answer 1

Ответ:

⅕

Объяснение:

Смотрите фотографии выше

Answer 2

Чтобы найти отношение площади треугольника AMD к площади параллелограмма ABCD, давайте сначала обозначим площади и выразим их через заданные отношения.

Обозначим площадь параллелограмма ABCD как S_ABCD и используем для этого букву S. Теперь давайте выразим площадь треугольника AMD.

По условию, 3AM = 2MC, что означает, что отношение AM к MC равно 3:2. Таким образом, AM = 3x и MC = 2x, где x - это какое-то положительное число.

Теперь мы можем выразить AC как сумму AM и MC: AC = AM + MC = 3x + 2x = 5x.

Площадь треугольника AMD можно выразить как:

S_AMD = (1/2) * AM * DC,

где DC - это диагональ параллелограмма ABCD. Мы знаем, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника, поэтому DC = 2AC = 2 * 5x = 10x.

Теперь мы можем выразить S_AMD:

S_AMD = (1/2) * AM * DC = (1/2) * 3x * 10x = 15x^2.

Теперь мы можем выразить отношение площади треугольника AMD к площади параллелограмма ABCD:

Отношение = S_AMD / S_ABCD = (15x^2) / S_ABCD.

Теперь нам нужно выразить S_ABCD через x. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению его базы (AC) и высоты (h), которая измеряется по отношению к базе.

S_ABCD = AC * h.

Мы уже знаем, что AC = 5x. Теперь давайте найдем h. h - это расстояние от точки M до противоположной стороны параллелограмма. Так как точка M делит диагональ AC в отношении 2:3, h также делится в этом же отношении.

h = (2/3) * h_ABCD,

где h_ABCD - высота параллелограмма ABCD.

Теперь мы можем выразить S_ABCD через x:

S_ABCD = AC * h = 5x * (2/3) * h_ABCD = (10/3) * x * h_ABCD.

Теперь мы можем выразить отношение площадей:

Отношение = S_AMD / S_ABCD = (15x^2) / ((10/3) * x * h_ABCD).

Отношение = (45/10) * (x^2 / (x * h_ABCD)) = (9/2) * (x / h_ABCD).

Теперь, чтобы найти отношение, нам нужно выразить x / h_ABCD. Обратите внимание, что x / h_ABCD - это отношение высоты треугольника AMD к высоте параллелограмма ABCD.

Мы знаем, что x / h_ABCD = 2 / 3, так как точка M делит диагональ AC в отношении 2:3.

Теперь мы можем найти отношение:

Отношение = (9/2) * (2/3) = 3/1 = 3.

Ответ: Отношение площади треугольника AMD к площади параллелограмма ABCD равно 3:1.