Question

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 °. Найдите высоту пирамиды. Пожалуйста!​

Answer 1

В правильной четырехугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна половине диагонали основания, то есть 10√2/2 = 5√2.

Теперь, зная угол наклона бокового ребра, можно определить высоту H пирамиды из прямоугольного треугольника.

H = (5√2)*tg60° = (5√2)*(√3) = 5√6 см.

Ответ: высота равна 5√6 см.

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов.

Обозначим высоту пирамиды как h. Тогда боковое ребро, соединяющее вершину пирамиды с основанием, является катетом прямоугольного треугольника. Полюс проведем высоту гипотенузы этого треугольника, которая является радиусом описанной окружности основания пирамиды.

Таким образом, мы получим разбиение треугольника на два прямоугольных, в которых один из углов составляет 60°, а гипотенуза равна 10 см. Обозначим катеты этих треугольников как a и b, а гипотенузы как c и d.

Теперь можно составить систему уравнений: a^2 + h^2 = c^2, b^2 + h^2 = d^2, a + b = 10.

Из третьего уравнения выразим a через b: a = 10 - b.

Подставим это выражение в первое и второе уравнения, и избавимся от переменной a:

(10 - b)^2 + h^2 = c^2, b^2 + h^2 = d^2.

Раскроем первое уравнение:

100 - 20b + b^2 + h^2 = c^2, b^2 + h^2 = d^2.

Вычтем второе уравнение из первого и получим:

100 - 20b = c^2 - d^2.

Теперь рассмотрим угол CAB, который является углом между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания. Этот угол равен 60°, значит, угол BAC равен (180° - 60°)/2 = 60°.

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику ABC:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(CAB).

Подставим выражение a = 10 - b в это уравнение:

c^2 = (10 - b)^2 + b^2 - 20(10 - b)*cos(CAB).

Теперь подставим полученное выражение для c^2 в систему уравнений и решим ее:

(10 - b)^2 + h^2 = (10 - b)^2 + b^2 - 20(10 - b)*cos(CAB), b^2 + h^2 = (10 - b)^2 + b^2 - 20(10 - b)*cos(CAB).

Упростим уравнения:

h^2 = b^2 - 20b*cos(CAB), h^2 = 100 - 20b + b^2 - 20b*cos(CAB).

Отбросим одинаковые слагаемые и получим:

h^2 = 100 - 40b + 2b^2 - 20b*cos(CAB).

Теперь подставим в эту систему угол CAB = 60° и упростим:

h^2 = 100 - 40b + 2b^2 - 20b*(1/2), h^2 = 100 - 40b + 2b^2 - 10b, h^2 = 100 - 50b + 2b^2.

Теперь подставим это уравнение в систему и решим ее:

h^2 = (10 - b)^2 + b^2 - 20(10 - b)*(1/2), h^2 = b^2 + (10 - b)^2 - 10(10 - b).

Упростим уравнение:

h^2 = b^2 + 100 - 20b + b^2 - 10(10 - b), h^2 = 2b^2 - 10b + 100 - 10(10 - b), h^2 = 2b^2 - 10b + 100 - 100 + 10b, h^2 = 2b^2.

Теперь найдем b:

10 - b = 10cos(60°), b = 10 - 10cos(60°).

Подставим это значение b в уравнение и найдем h:

h^2 = 2(10 - 10cos(60°))^2, h^2 = 200 - 400cos(60°) + 200cos(60°)^2, h^2 = 200 - 400(1/2) + 200(1/2)^2, h^2 = 200 - 200 + 200(1/4), h^2 = 200(1/4), h = sqrt(200)/2.

Таким образом, высота пирамиды равна sqrt(200)/2 см.