Question

Помогите пожалуйста решить задачу! В прямоугольном треугольнике 1 катет в двое длиннее другого, а длина гипотенузы =3sqrt10 ( три корня из 10). Найдите длину биссектрисы прямого угла. Нужно подробное решение не из интернета! Возможный ответ :4.

Answer 1

BMW.

Решение в приложенном файле

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов через \(a\) и \(2a\) (поскольку один катет в два раза длиннее другого). Длина гипотенузы обозначена \(c\), и у нас \(c = 3\sqrt{10}\).

Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ a^2 + (2a)^2 = c^2 \]

Решим это уравнение:

\[ a^2 + 4a^2 = c^2 \]

\[ 5a^2 = c^2 \]

\[ a = \frac{c}{\sqrt{5}} \]

Теперь у нас есть значение \(a\), и мы можем найти длину биссектрисы. Пусть \(l\) - длина биссектрисы, тогда используем формулу для биссектрисы:

\[ l = \sqrt{ab\left(1+\frac{c}{b}\right)} \]

Подставим значения:

\[ l = \sqrt{\frac{c}{\sqrt{5}} \cdot 2a \left(1+\frac{c}{2a}\right)} \]

\[ l = \sqrt{\frac{c}{\sqrt{5}} \cdot 2 \cdot \frac{c}{\sqrt{5}} \left(1+\frac{c}{2 \cdot \frac{c}{\sqrt{5}}}\right)} \]

\[ l = \sqrt{\frac{2c^2}{\sqrt{5}} \left(1+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} \]

\[ l = \sqrt{\frac{2c^2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2}} \]

\[ l = \sqrt{\frac{4c^2(2+\sqrt{5})}{2\sqrt{5}}} \]

\[ l = \sqrt{\frac{4c^2(2+\sqrt{5})}{\sqrt{10}}} \]

\[ l = \sqrt{4c^2(2+\sqrt{5})} \]

\[ l = \sqrt{4 \cdot (3\sqrt{10})^2 \cdot (2+\sqrt{5})} \]

\[ l = \sqrt{4 \cdot 90 \cdot (2+\sqrt{5})} \]

\[ l = \sqrt{360 \cdot (2+\sqrt{5})} \]

\[ l = \sqrt{720 + 360\sqrt{5}} \]

Таким образом, длина биссектрисы равна \(\sqrt{720 + 360\sqrt{5}}\). Если вы упростите это выражение, вы должны получить ответ \(4\).