Question

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB=8 и BC=7 обозначены соотвестенно точки E и K так, что BE=3 EA=5, BK=5, KC=2. Вне плоскости этого треугольника отмечена точка О. Выразите вектор EK через векторы ОА, ОВ, ОС.

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Для выражения вектора \( \overrightarrow{EK} \) через векторы \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \) и \( \overrightarrow{OC} \), давайте воспользуемся законом треугольника для векторов. Закон треугольника для векторов гласит, что сумма векторов вдоль замкнутого контура равна нулевому вектору.

Мы можем записать:

\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{OK} \]

Теперь, рассмотрим каждый вектор по отдельности:

\[ \overrightarrow{OA} \] - это вектор, направленный от точки \( O \) к точке \( A \). Его длина равна 8 (длина стороны AB).

\[ \overrightarrow{AB} \] - это вектор, представляющий сторону треугольника \( AB \). Мы его не знаем напрямую, поэтому оставим его в выражении.

\[ \overrightarrow{BE} \] - это вектор, представляющий сторону треугольника \( BE \). Мы знаем, что \( BE = 3 \), поэтому это вектор длины 3 вдоль стороны \( AB \). Таким образом, его можно выразить как \(\frac{3}{8} \cdot \overrightarrow{AB}\).

\[ \overrightarrow{EK} \] - это вектор, представляющий сторону треугольника \( EK \). Мы хотим его выразить через векторы \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \) и \( \overrightarrow{OC} \), поэтому оставим его в выражении.

Теперь, объединим все вместе:

\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{OK} \]

\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{8} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{OK} \]

Теперь объединим векторы \( \overrightarrow{AB} \):

\[ \overrightarrow{OA} + \frac{11}{8} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{OK} \]

Теперь можем выразить вектор \( \overrightarrow{EK} \):

\[ \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA} - \frac{11}{8} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Таким образом, выражение для вектора \( \overrightarrow{EK} \) через векторы \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \) и \( \overrightarrow{OC} \) будет:

\[ \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA} - \frac{11}{8} \cdot \overrightarrow{AB} \]